Решение: Закон Кулона и Теорема Гаусса - Кратко

Ниже представлены краткие ответы на вопросы экзаменационного билета по теме «Электричество и магнетизм», оформленные для удобного переписывания в тетрадь. 1. Закон Кулона и напряженность поля Закон Кулона: Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме: \[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \] Напряженность поля точечного заряда: \[ E = \frac{F}{q} = k \frac{q}{r^2} \] Для неточечного заряда используется принцип суперпозиции: \( \vec{E} = \int \frac{k \cdot dq}{r^2} \vec{r}_0 \). 2. Теорема Гаусса Интегральная форма: Поток вектора \( \vec{E} \) через замкнутую поверхность равен сумме зарядов внутри, деленной на \( \varepsilon_0 \): \[ \oint_S \vec{E} d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum q_i \] Дифференциальная форма: \( \text{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \). Дивергенция — это мера плотности источников поля в точке. 3. Потенциал и связь с напряженностью Потенциал \( \varphi \) — энергетическая характеристика поля. Связь с \( \vec{E} \): \[ \vec{E} = -\text{grad} \varphi \] Уравнение Пуассона: \( \Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \). Уравнение Лапласа (если \( \rho = 0 \)): \( \Delta \varphi = 0 \). 4. Диполь Дипольный момент: \( \vec{p} = q\vec{l} \). Энергия диполя во внешнем поле: \( W = -(\vec{p} \cdot \vec{E}) \). Сила, действующая на диполь в неоднородном поле: \( \vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E} \). 5. Теорема Остроградского-Гаусса и циркуляция Теорема связывает поток через поверхность с объемом. Циркуляция вектора \( \vec{E} \) в электростатике всегда равна нулю (поле потенциально): \[ \oint_L \vec{E} d\vec{l} = 0 \] 6. Поле в диэлектрике Вектор поляризации \( \vec{P} = \frac{\sum \vec{p}_i}{V} \). Связь с зарядами: \( \sigma_{св} = P_n \), \( \rho_{св} = -\text{div} \vec{P} \). Вектор индукции: \( \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P} \). Теорема Гаусса для \( \vec{D} \): \( \oint_S \vec{D} d\vec{S} = \sum q_{стор} \). 7. Граничные условия для E и D Для тангенциальных (касательных) составляющих: \( E_{1\tau} = E_{2\tau} \). Для нормальных составляющих: \( D_{1n} - D_{2n} = \sigma \). 8. Емкость и энергия Емкость: \( C = \frac{q}{U} \). Энергия конденсатора: \( W = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} \). Объемная плотность энергии поля: \( w = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon E^2}{2} \). 9. Постоянный ток Плотность тока: \( j = \frac{dI}{dS} \). Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда): Дифференциальная форма: \( \text{div} \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \). Для постоянного тока: \( \text{div} \vec{j} = 0 \). 10. Закон Ома Интегральная форма: \( I = \frac{U}{R} \). Дифференциальная форма: \( \vec{j} = \sigma \vec{E} \), где \( \sigma \) — удельная проводимость. 11. Закон Джоуля-Ленца Интегральная форма: \( Q = I^2 R t \). Дифференциальная форма (удельная мощность): \( w = \vec{j} \cdot \vec{E} = \sigma E^2 \). 12. Элемент тока и закон Био-Савара-Лапласа Элемент тока: \( I d\vec{l} \). Закон Био-Савара-Лапласа для индукции \( d\vec{B} \): \[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \] 13. Силы в магнитном поле Сила Лоренца (на заряд): \( \vec{F} = q [\vec{v} \times \vec{B}] \). Теорема Гаусса для \( \vec{B} \): \( \oint_S \vec{B} d\vec{S} = 0 \) (магнитных зарядов нет). Сила взаимодействия токов (Ампера): \( d\vec{F} = I [d\vec{l} \times \vec{B}] \). 14. Теорема о циркуляции вектора B Интегральная форма: \( \oint_L \vec{B} d\vec{l} = \mu_0 \sum I \). Дифференциальная форма: \( \text{rot} \vec{B} = \mu_0 \vec{j} \). Теорема Стокса связывает циркуляцию по контуру с потоком ротора через поверхность. 15. Виток с током Магнитный момент: \( \vec{m} = I \vec{S} \). Момент сил: \( \vec{M} = [\vec{m} \times \vec{B}] \). Потенциальная энергия: \( W = -(\vec{m} \cdot \vec{B}) \). 16. Магнитное поле в веществе Намагниченность: \( \vec{J} = \frac{\sum \vec{m}_i}{V} \). Напряженность магнитного поля: \( \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{J} \). Теорема о циркуляции: \( \oint_L \vec{H} d\vec{l} = \sum I_{стор} \). 17. Граничные условия для B и H Для нормальных составляющих: \( B_{1n} = B_{2n} \). Для тангенциальных составляющих: \( H_{1\tau} - H_{2\tau} = i \) (линейная плотность тока). Гистерезис — зависимость намагниченности ферромагнетика от внешнего поля и предыстории. 18. Электромагнитная индукция Закон Фарадея: \( \mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt} \). Дифференциальная форма (Максвелл): \( \text{rot} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \). Поток: \( \Phi = \int \vec{B} d\vec{S} \). 19. Индуктивность Индуктивность: \( L = \frac{\Phi}{I} \). Взаимоиндукция: \( \Phi_{21} = M I_1 \). Теорема взаимности: \( M_{12} = M_{21} \). 20. Магнитная энергия Энергия тока: \( W = \frac{LI^2}{2} \). Объемная плотность энергии: \( w = \frac{BH}{2} = \frac{\mu_0 \mu H^2}{2} \). 21. Движение частиц В электрическом поле: \( \vec{F} = q\vec{E} \) (ускорение вдоль линий). В магнитном поле: \( \vec{F} = q[\vec{v} \times \vec{B}] \) (движение по окружности или спирали). 22. Уравнения Максвелла (система) 1) \( \text{div} \vec{D} = \rho \) 2) \( \text{div} \vec{B} = 0 \) 3) \( \text{rot} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \) 4) \( \text{rot} \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \) 23. Последовательный резонанс (напряжений) Условие: \( X_L = X_C \), т.е. \( \omega L = \frac{1}{\omega C} \). Полное сопротивление \( Z \) минимально, ток \( I \) максимален. Напряжения на \( L \) и \( C \) могут многократно превышать входное. 24. Параллельный резонанс (токов) Условие: \( \omega L = \frac{1}{\omega C} \). Общее сопротивление \( Z \) максимально, ток в неразветвленной части цепи минимален. 25. Свободные затухающие колебания Уравнение: \( \ddot{q} + 2\beta \dot{q} + \omega_0^2 q = 0 \). Решение: \( q(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \alpha) \). 26. Активное сопротивление \( U = I R \). Ток и напряжение совпадают по фазе. Мощность: \( P = I_{эфф} U_{эфф} \). 27. Емкость в цепи переменного тока Сопротивление: \( X_C = \frac{1}{\omega C} \). Ток опережает напряжение на \( \frac{\pi}{2} \). Средняя мощность за период равна нулю. 28. Индуктивность в цепи переменного тока Сопротивление: \( X_L = \omega L \). Ток отстает от напряжения на \( \frac{\pi}{2} \). Средняя мощность равна нулю. 29. Зарядка и разрядка конденсатора Зарядка: \( q(t) = C\mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) \). Разрядка: \( q(t) = q_0 e^{-t/RC} \). Постоянная времени \( \tau = RC \). 30. Электромагнитная волна Уравнение: \( \Delta \vec{E} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \). Вектор Умова-Пойнтинга (плотность потока энергии): \( \vec{S} = [\vec{E} \times \vec{H}] \).