Решение задачи методом узловых потенциалов: Пример

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов, так как это наиболее рациональный способ для данной схемы. Примем потенциал нижнего центрального узла равным нулю. Дано: \( E_3 = 54 \) В, \( E_4 = 10 \) В. \( R_1 = 39 \) Ом, \( R_2 = 43 \) Ом, \( R_3 = 34 \) Ом, \( R_4 = 91 \) Ом, \( R_5 = 26 \) Ом, \( R_6 = 79 \) Ом. На схеме также присутствуют \( E_1, E_2, E_5, E_6 \). Поскольку их значений нет на фото с данными, примем их равными 0 (короткое замыкание источников), либо будем считать, что требуется составить общее решение. Исходя из предоставленных цифр, решим задачу для имеющихся номиналов. 1. Обозначим узлы: Нижний центральный узел: \( \phi_0 = 0 \) В. Левый узел: \( \phi_1 \). Правый узел: \( \phi_2 \). Верхний центральный узел: \( \phi_3 \). 2. Составим уравнения по методу узловых потенциалов: Для узла 1: \[ \phi_1 (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_6}) - \phi_3 \frac{1}{R_3} - \phi_2 \frac{1}{R_6} = -\frac{E_3}{R_3} \] Для узла 2: \[ \phi_2 (\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_6}) - \phi_3 \frac{1}{R_4} - \phi_1 \frac{1}{R_6} = \frac{E_4}{R_4} \] Для узла 3: \[ \phi_3 (\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}) - \phi_1 \frac{1}{R_3} - \phi_2 \frac{1}{R_4} = \frac{E_3}{R_3} \] 3. Подставим численные значения проводимостей (в Сименсах, \( См = 1/Ом \)): \( g_1 = 1/39 \approx 0.0256 \) \( g_2 = 1/43 \approx 0.0233 \) \( g_3 = 1/34 \approx 0.0294 \) \( g_4 = 1/91 \approx 0.0110 \) \( g_5 = 1/26 \approx 0.0385 \) \( g_6 = 1/79 \approx 0.0127 \) Система уравнений: \[ \begin{cases} 0.0677\phi_1 - 0.0127\phi_2 - 0.0294\phi_3 = -1.588 \\ -0.0127\phi_1 + 0.0470\phi_2 - 0.0110\phi_3 = 0.110 \\ -0.0294\phi_1 - 0.0110\phi_2 + 0.0789\phi_3 = 1.588 \end{cases} \] 4. Решим систему (приблизительные значения потенциалов): \[ \phi_1 \approx -13.54 \text{ В} \] \[ \phi_2 \approx 2.31 \text{ В} \] \[ \phi_3 \approx 15.39 \text{ В} \] 5. Находим токи в ветвях (направления согласно схеме): Ток через \( R_3 \): \[ I_3 = \frac{\phi_3 - \phi_1 - E_3}{R_3} = \frac{15.39 - (-13.54) - 54}{34} \approx -0.737 \text{ А} \] Ток через \( R_4 \): \[ I_4 = \frac{E_4 - (\phi_2 - \phi_3)}{R_4} = \frac{10 - (2.31 - 15.39)}{91} \approx 0.254 \text{ А} \] Ток через \( R_5 \): \[ I_5 = \frac{\phi_3 - \phi_0}{R_5} = \frac{15.39}{26} \approx 0.592 \text{ А} \] Ответ: Токи в основных ветвях составляют \( I_3 \approx -0.74 \) А, \( I_4 \approx 0.25 \) А, \( I_5 \approx 0.59 \) А. Отрицательный знак означает, что реальное направление тока противоположно выбранному.