Решение задачи: уравнение, перевод, конькобежный спорт

Ниже представлено решение задач Варианта 2, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задание 1. Решите уравнение \( x(x^2 + 2x + 1) = 6(x + 1) \). Решение: Заметим, что в скобках в левой части стоит квадрат суммы: \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \). \[ x(x + 1)^2 = 6(x + 1) \] Перенесем всё в левую часть: \[ x(x + 1)^2 - 6(x + 1) = 0 \] Вынесем общий множитель \( (x + 1) \) за скобки: \[ (x + 1)(x(x + 1) - 6) = 0 \] \[ (x + 1)(x^2 + x - 6) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1 \) 2) \( x^2 + x - 6 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_2 + x_3 = -1 \] \[ x_2 \cdot x_3 = -6 \] Отсюда \( x_2 = -3 \), \( x_3 = 2 \). Ответ: \( -3; -1; 2 \). Задание 2. Решите уравнение \( x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8 \). Решение: Уравнение имеет смысл при \( 3 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 3 \). При этом условии корни сокращаются: \[ x^2 - 2x = 8 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -8 \] Получаем корни: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \). Проверим условие \( x \le 3 \): \( x = 4 \) — не подходит (посторонний корень). \( x = -2 \) — подходит. Ответ: \( -2 \). Задание 3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y = 5 \\ 6x^2 - y = 2 \end{cases} \] Решение: Сложим два уравнения системы: \[ (x^2 + y) + (6x^2 - y) = 5 + 2 \] \[ 7x^2 = 7 \] \[ x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1 \] Найдем \( y \), подставив \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 1 + y = 5 \Rightarrow y = 4 \] Ответ: \( (1; 4), (-1; 4) \). Задание 4. Пусть \( x \) км/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого — \( (x + 10) \) км/ч. Время в пути второго: \( \frac{60}{x} \) ч, время первого: \( \frac{60}{x + 10} \) ч. По условию разница во времени составляет 3 часа: \[ \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 3 \] Разделим на 3: \[ \frac{20}{x} - \frac{20}{x + 10} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{20(x + 10) - 20x}{x(x + 10)} = 1 \] \[ 20x + 200 - 20x = x^2 + 10x \] \[ x^2 + 10x - 200 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 10 \), \( x_2 = -20 \) (не подходит). Ответ: 10 км/ч. Задание 5. Пусть \( x \) деталей в час делает первый рабочий. Тогда второй делает \( (x - 5) \) деталей в час. Время первого: \( \frac{180}{x} \) ч, время второго: \( \frac{180}{x - 5} \) ч. Уравнение: \[ \frac{180}{x - 5} - \frac{180}{x} = 3 \] Разделим на 3: \[ \frac{60}{x - 5} - \frac{60}{x} = 1 \] \[ \frac{60x - 60(x - 5)}{x(x - 5)} = 1 \] \[ 60x - 60x + 300 = x^2 - 5x \] \[ x^2 - 5x - 300 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 20 \), \( x_2 = -15 \) (не подходит). Ответ: 20 деталей в час.