Решение задач по геометрии: угол ACB и медиана AH

Задача 11. Дано: \( \triangle ABC \), \( AL \) — биссектриса, \( \angle LAC = 24^\circ \), \( \angle ABC = 54^\circ \). Найти: \( \angle ACB \). Решение: 1. Так как \( AL \) — биссектриса угла \( A \), то \( \angle BAL = \angle LAC = 24^\circ \). 2. Тогда весь угол \( A \) треугольника равен: \[ \angle BAC = \angle BAL + \angle LAC = 24^\circ + 24^\circ = 48^\circ \] 3. Сумма углов в треугольнике \( ABC \) равна \( 180^\circ \). Находим неизвестный угол \( C \): \[ \angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) \] \[ \angle ACB = 180^\circ - (48^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \] Ответ: 78. Задача 12. Дано: \( \triangle ABC \), \( BM \) — медиана, \( BH \) — высота, \( AC = 84 \), \( BC = BM \). Найти: \( AH \). Решение: 1. Так как \( BM \) — медиана, она делит сторону \( AC \) пополам: \[ AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \] 2. Рассмотрим треугольник \( BMC \). По условию \( BC = BM \), значит, \( \triangle BMC \) — равнобедренный. 3. В равнобедренном треугольнике \( BMC \) высота \( BH \), проведенная к основанию \( MC \), является также и медианой. Следовательно, точка \( H \) делит отрезок \( MC \) пополам: \[ MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] 4. Отрезок \( AH \) состоит из суммы отрезков \( AM \) и \( MH \): \[ AH = AM + MH = 42 + 21 = 63 \] Ответ: 63.