Решение задач 13 и 14: геометрия, углы в треугольниках

Задача 13. Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)). Отношение острых углов: \( \angle A : \angle B = 4 : 5 \). Найти: больший острый угол. Решение: 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ \angle A + \angle B = 90^\circ \] 2. Пусть одна часть составляет \( x \) градусов. Тогда: \[ \angle A = 4x \] \[ \angle B = 5x \] 3. Составим и решим уравнение: \[ 4x + 5x = 90 \] \[ 9x = 90 \] \[ x = 10^\circ \] 4. Найдем величины углов: \[ \angle A = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ \] \[ \angle B = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \] Большим из них является угол \( 50^\circ \). Ответ: 50. Задача 14. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание. Внешний угол при вершине \( C \) равен \( 143^\circ \). Найти: \( \angle ABC \). Решение: 1. Внутренний угол \( \angle ACB \) и внешний угол при вершине \( C \) являются смежными. Их сумма равна \( 180^\circ \). \[ \angle ACB = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ \] 2. Так как треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle ACB = 37^\circ \] 3. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем угол при вершине \( B \): \[ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) \] \[ \angle ABC = 180^\circ - (37^\circ + 37^\circ) \] \[ \angle ABC = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ \] Ответ: 106.