Решение контрольной работы по геометрии

Ниже представлены ответы и решения задач из контрольной работы по геометрии. А1. Ответ: в) в основании лежит правильный многоугольник и вершина проецируется в центр основания. А2. Ответ: б) все грани — прямоугольники. А3. Ответ: в) площади боковой поверхности и площадей двух оснований. А4. Соответствие по рисунку: 1) BO — А) ось; 2) AB — Г) образующая; 3) OC — Б) радиус; 4) ABC — В) осевое сечение. А5. Задача Дано: правильная четырехугольная призма, \(a = 5\) см, \(h = 2\) см. Найти: \(S_{бок}\). Решение: Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\] Так как в основании квадрат со стороной \(a = 5\) см, то периметр: \[P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}\] Тогда: \[S_{бок} = 20 \cdot 2 = 40 \text{ см}^2\] Ответ: а) 40 см\(^2\). А6. Задача Дано: правильная треугольная пирамида, \(h_{гр} = 6\) см (апофема), \(a = 4\) см. Найти: \(S_{бок}\). Решение: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_{гр}\] Периметр основания (треугольника): \[P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}\] Вычисляем площадь: \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2\] Примечание: В вариантах ответа допущена опечатка, наиболее близкий расчетный ответ отсутствует, но по логике формулы получается 36. Если выбирать из предложенных, проверьте условие. А7. Задача Дано: диаметр сферы \(D = 8\) см. Найти: \(V\). Решение: Радиус сферы \(R = D / 2 = 8 / 2 = 4\) см. Объем шара (сферы) вычисляется по формуле: \[V = \frac{4}{3} \pi R^3\] \[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 85,3 \pi \text{ см}^3\] Примечание: В списке ответов также возможна опечатка в условии или вариантах. В1. Задача Дано: правильная четырехугольная пирамида, \(a = 5\) см, \(h_{гр} = 7\) см. Найти: \(S_{полн}\). Решение: \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\] 1) Площадь основания (квадрат): \(S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2\). 2) Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_{гр} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 5) \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70 \text{ см}^2\). 3) Полная площадь: \(S_{полн} = 25 + 70 = 95 \text{ см}^2\). Ответ: 95 см\(^2\). В2. Задача Дано: прямоугольный параллелепипед, \(ABCD\) — квадрат, \(AB = 4\) см, \(BD_1 = 4\sqrt{3}\) см. Найти: \(V\). Решение: 1) Диагональ основания \(d\) (квадрата): \[d = AB \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}\] 2) Из прямоугольного треугольника \(BDD_1\) найдем высоту \(H = DD_1\) по теореме Пифагора: \[H^2 = BD_1^2 - d^2 = (4\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2 = 48 - 32 = 16\] \[H = \sqrt{16} = 4 \text{ см}\] 3) Объем: \[V = S_{осн} \cdot H = AB^2 \cdot H = 4^2 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 \text{ см}^3\] Ответ: 64 см\(^3\). В3. Задача Дано: цилиндр, диагональ осевого сечения \(L = 10\) см, \(R = 4\) см. Найти: \(S_{бок}\). Решение: 1) Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(H\) (высота) и \(2R\) (диаметр основания). 2) Диаметр \(D = 2R = 2 \cdot 4 = 8\) см. 3) Найдем высоту \(H\) из прямоугольного треугольника (сечения): \[H = \sqrt{L^2 - D^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\] 4) Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi \text{ см}^2\] Ответ: \(48\pi\) см\(^2\). С1. Задача Дано: прямая призма, в основании прямоугольный треугольник, катет \(a = 16\) см, гипотенуза \(c = 20\) см. Диагональ грани со вторым катетом \(d_2 = 13\) см. Найти: \(S_{полн}\). Решение: 1) Найдем второй катет основания \(b\): \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\] 2) Найдем высоту призмы \(H\) из диагонали грани, содержащей катет \(b\): \[H = \sqrt{d_2^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] 3) Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2\] 4) Периметр основания: \[P = a + b + c = 16 + 12 + 20 = 48 \text{ см}\] 5) Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot H = 48 \cdot 5 = 240 \text{ см}^2\] 6) Полная поверхность: \[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 240 = 192 + 240 = 432 \text{ см}^2\] Ответ: 432 см\(^2\).