Решение задачи: диск скатывается с наклонной плоскости

Дано: \(m = 1\) кг \(h = 0,3\) м \(g = 9,8\) м/с\(^2\) Найти: \(v\) — ? Решение: При скатывании диска без скольжения выполняется закон сохранения механической энергии. Потенциальная энергия диска на вершине наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения у основания. Закон сохранения энергии: \[E_p = E_{k1} + E_{k2}\] \[mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}\] Для сплошного диска момент инерции \(I\) и угловая скорость \(\omega\) выражаются формулами: \[I = \frac{mr^2}{2}\] \[\omega = \frac{v}{r}\] Подставим эти выражения в уравнение энергии: \[mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{mr^2}{2} \cdot \left(\frac{v}{r}\right)^2\] \[mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{4}\] Сократим на массу \(m\) и приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю: \[gh = \frac{3v^2}{4}\] Выразим скорость \(v\): \[v^2 = \frac{4gh}{3}\] \[v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}\] Подставим числовые значения: \[v = \sqrt{\frac{4 \cdot 9,8 \cdot 0,3}{3}}\] \[v = \sqrt{4 \cdot 9,8 \cdot 0,1}\] \[v = \sqrt{3,92} \approx 1,98\] Ответ: 1,98