Решение задачи: Диск на наклонной плоскости и вращающаяся платформа

Дано: \(n_1 = 2\) об/с \(n_2 = 3\) об/с \(M = 200\) кг Найти: \(m\) — ? Решение: Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Поскольку платформа вращается по инерции (внешние моменты сил отсутствуют), момент импульса системы «платформа — мальчик» остается неизменным: \[L_1 = L_2\] \[I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2\] Где \(\omega = 2\pi n\) — угловая скорость, \(I\) — момент инерции системы. В первом случае мальчик стоит на краю платформы радиусом \(R\). Момент инерции системы равен сумме момента инерции диска и момента инерции мальчика как материальной точки: \[I_1 = \frac{MR^2}{2} + mR^2\] Во втором случае мальчик перешел в центр платформы. Его расстояние до оси вращения стало равным нулю, следовательно, его момент инерции стал равен нулю: \[I_2 = \frac{MR^2}{2}\] Подставим выражения в закон сохранения: \[\left(\frac{MR^2}{2} + mR^2\right) \cdot 2\pi n_1 = \frac{MR^2}{2} \cdot 2\pi n_2\] Сократим обе части уравнения на \(2\pi\) и \(R^2\): \[\left(\frac{M}{2} + m\right) n_1 = \frac{M}{2} n_2\] Раскроем скобки и выразим массу мальчика \(m\): \[\frac{M n_1}{2} + m n_1 = \frac{M n_2}{2}\] \[m n_1 = \frac{M n_2}{2} - \frac{M n_1}{2}\] \[m = \frac{M(n_2 - n_1)}{2 n_1}\] Подставим числовые значения: \[m = \frac{200 \cdot (3 - 2)}{2 \cdot 2}\] \[m = \frac{200 \cdot 1}{4}\] \[m = 50\] Ответ: 50