Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле

Тема: Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле Метод интегрирования по частям основывается на формуле производной произведения двух функций. Он применяется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых удобно дифференцировать, а другой — интегрировать. Формула интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Порядок применения метода: 1. Выбор функций u и dv. Это самый важный этап. За u обычно выбирают функцию, которая при дифференцировании упрощается, а за dv — оставшуюся часть выражения, интеграл от которой легко найти. Существует общее правило выбора u (правило приоритета): - Логарифмические функции (ln x). - Обратные тригонометрические функции (arcsin x, arctg x). - Алгебраические функции (многочлены, x в степени n). - Тригонометрические функции (sin x, cos x). - Показательные функции (e в степени x). 2. Вычисление du и v. После выбора u и dv необходимо: - Найти производную от u, чтобы получить du: \( du = u' dx \). - Найти первообразную от dv, чтобы получить v: \( v = \int dv \). 3. Подстановка в формулу. Подставить полученные значения u, v, du в формулу \( uv - \int v \, du \). 4. Вычисление оставшегося интеграла. Полученный интеграл \( \int v \, du \) должен быть проще исходного. Пример решения: Вычислить интеграл \( \int x \cos x \, dx \). Решение: Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \). Пусть \( dv = \cos x \, dx \), тогда \( v = \int \cos x \, dx = \sin x \). Применим формулу: \[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \] \[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C \] \[ \int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C \] Ответ: \( x \sin x + \cos x + C \).