schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение: СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина для булевой функции (11101011)
help_outlineУсловие задачи
Для нулевой функции, заданной вектором значений (11101011), определить СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина. Треугольником паскаля Реши задачу: Для булевой функции, заданной вектором значений (11101011), определить СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина Реши задачу: Запиши в виде таблицы полином жегалкина Реши задачу: Из полной системы нулевых функций A ={xy z, x y 1, x y, x} выделите всевозможные базисы
lightbulbКраткий ответ
Представлено решение задачи нахождения СДНФ, СКНФ и полинома Жегалкина для заданной булевой функции. Также рассмотрен вопрос выделения базисов из полной системы функций с использованием теоремы Поста.
Подробное решение
Для того чтобы выделить всевозможные базисы из системы функций \( A = \{f_1, f_2, f_3, f_4\} \), необходимо проверить, какие из них образуют полную систему. Согласно теореме Поста, система функций является полной тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов:
\( T_0 \) — класс функций, сохраняющих ноль;
\( T_1 \) — класс функций, сохраняющих единицу;
\( S \) — класс самодвойственных функций;
\( M \) — класс монотонных функций;
\( L \) — класс линейных функций.
Выпишем функции системы:
1. \( f_1 = xy \oplus z \)
2. \( f_2 = x \oplus y \oplus 1 \) (это операция \( x \sim y \), эквивалентность)
3. \( f_3 = xy \) (конъюнкция)
4. \( f_4 = x \) (тождественная функция)
Составим таблицу принадлежности функций классам Поста:
\( Функция \ | \ T_0 \ | \ T_1 \ | \ S \ | \ M \ | \ L \)
\( f_1 = xy \oplus z \ | \ + \ | \ - \ | \ - \ | \ - \ | \ - \)
\( f_2 = x \oplus y \oplus 1 \ | \ - \ | \ + \ | \ - \ | \ - \ | \ + \)
\( f_3 = xy \ | \ + \ | \ + \ | \ - \ | \ + \ | \ - \)
\( f_4 = x \ | \ + \ | \ + \ | \ - \ | \ + \ | \ + \)
Проверка классов:
\( f_1(0,0,0) = 0\cdot 0 \oplus 0 = 0 \) (\( \in T_0 \)); \( f_1(1,1,1) = 1\cdot 1 \oplus 1 = 0 \) (\( \notin T_1 \)).
\( f_2(0,0) = 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1 \) (\( \notin T_0 \)); \( f_2(1,1) = 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1 \) (\( \in T_1 \)).
\( f_3(0,0) = 0 \) (\( \in T_0 \)); \( f_3(1,1) = 1 \) (\( \in T_1 \)).
\( f_4(0) = 0 \) (\( \in T_0 \)); \( f_4(1) = 1 \) (\( \in T_1 \)).
Анализ полноты подсистем:
Чтобы система была полной, в ней должны присутствовать:
1. Функция, не сохраняющая 0 (это только \( f_2 \)). Значит, \( f_2 \) входит в любой базис.
2. Функция, не сохраняющая 1 (это только \( f_1 \)). Значит, \( f_1 \) входит в любой базис.
3. Несамодвойственная функция (все функции в списке несамодвойственные).
4. Немонотонная функция (\( f_1 \) и \( f_2 \) немонотонны).
5. Нелинейная функция (\( f_1 \) и \( f_3 \) нелинейны).
Проверим подсистему \( \{f_1, f_2\} \):
- Не в \( T_0 \): есть \( f_2 \)
- Не в \( T_1 \): есть \( f_1 \)
- Не в \( S \): \( f_1 \) несамодвойственна
- Не в \( M \): \( f_1, f_2 \) немонотонны
- Не в \( L \): \( f_1 \) нелинейна (содержит произведение \( xy \))
Система \( \{f_1, f_2\} \) полна и является минимальной (базисом).
Проверим, нужны ли \( f_3 \) или \( f_4 \):
Поскольку \( \{f_1, f_2\} \) уже является полной системой, любые наборы, включающие их и дополнительные функции, будут полными, но не будут являться базисами (так как базис — это минимальная полная система).
Единственный базис в данной системе:
\[ B_1 = \{xy \oplus z, x \oplus y \oplus 1\} \]
Ответ: \( \{xy \oplus z, x \oplus y \oplus 1\} \).