Определение главных моментов инерции составного сечения

Для решения задачи по определению главных центральных моментов инерции составного сечения, необходимо выполнить расчет по этапам. На основании ваших данных (Схема 10) имеем: двутавр №20, швеллер №18, два уголка 63х6 и лист 22х1,0. 1. Определение геометрических характеристик профилей по ГОСТ: Для двутавра №20: \[ A_4 = 26,8 \text{ см}^2, I_{x4} = 1840 \text{ см}^4, I_{y4} = 115 \text{ см}^4 \] Для швеллера №18: \[ A_3 = 20,7 \text{ см}^2, I_{x3} = 1090 \text{ см}^4, I_{y3} = 86 \text{ см}^4, z_0 = 1,94 \text{ см} \] Для уголка 63х6: \[ A_1 = A_2 = 7,28 \text{ см}^2, I_{x1} = I_{y1} = 26,9 \text{ см}^4, z_0 = 1,78 \text{ см} \] 2. Определение координат центра тяжести сечения: Согласно вашим записям, начало координат выбрано в нижней части. Координата \( X_c = 0 \) в силу симметрии. Вычислим \( Y_c \): \[ Y_c = \frac{\sum A_i \cdot y_i}{\sum A_i} \] \[ Y_c = \frac{7,28 \cdot 0 + 7,28 \cdot 0 + 20,7 \cdot 3,72 + 26,8 \cdot 12,29}{7,28 + 7,28 + 20,7 + 26,8} \] \[ Y_c = \frac{77,004 + 329,372}{62,06} \approx 6,548 \text{ см} \] 3. Определение моментов инерции относительно центральных осей \( X_c \) и \( Y_c \): Используем теорему о параллельном переносе осей: \( I = I_0 + a^2 \cdot A \). Для оси \( X_c \): \[ I_{Xc} = \sum (I_{xi} + a_i^2 \cdot A_i) \] \[ a_1 = a_2 = 0 - 6,548 = -6,548 \text{ см} \] \[ a_3 = 3,72 - 6,548 = -2,828 \text{ см} \] \[ a_4 = 12,29 - 6,548 = 5,742 \text{ см} \] \[ I_{Xc} = (26,9 \cdot 2 + 2 \cdot 6,548^2 \cdot 7,28) + (1090 + 2,828^2 \cdot 20,7) + (1840 + 5,742^2 \cdot 26,8) \] \[ I_{Xc} = (53,8 + 624,28) + (1090 + 165,55) + (1840 + 883,61) \] \[ I_{Xc} = 678,08 + 1255,55 + 2723,61 = 4657,24 \text{ см}^4 \] Для оси \( Y_c \): \[ I_{Yc} = \sum (I_{yi} + b_i^2 \cdot A_i) \] Здесь \( b_i \) — расстояния от центральной оси \( Y_c \) до центров тяжести профилей по горизонтали. Для уголков (согласно вашим расчетам \( x_1 = -7,52 \), \( x_2 = 7,52 \)): \[ I_{Yc} = (26,9 \cdot 2 + 2 \cdot 7,52^2 \cdot 7,28) + 86 + 115 \] \[ I_{Yc} = (53,8 + 823,37) + 86 + 115 = 1078,17 \text{ см}^4 \] 4. Ответ: Главные центральные моменты инерции составного сечения составляют: \[ I_{max} = I_{Xc} = 4657,24 \text{ см}^4 \] \[ I_{min} = I_{Yc} = 1078,17 \text{ см}^4 \]