Определение моментов инерции составного сечения (Двутавр 20, Швеллер 18, Уголок 63х63х6)

Для решения задачи воспользуемся справочными данными для стальных прокатных профилей по ГОСТ и выполним расчет геометрических характеристик составного сечения. 1. Выпишем характеристики профилей из справочника: Для двутавра №20 (ГОСТ 8239-89): \[ A_4 = 26,8 \text{ см}^2; \quad I_{x4} = 1840 \text{ см}^4; \quad I_{y4} = 115 \text{ см}^4 \] Для швеллера №18 (ГОСТ 8240-97): \[ A_3 = 20,7 \text{ см}^2; \quad I_{x3} = 1090 \text{ см}^4; \quad I_{y3} = 86 \text{ см}^4; \quad z_0 = 1,94 \text{ см} \] Для уголка 63х63х6 (ГОСТ 8509-93): \[ A_1 = A_2 = 7,28 \text{ см}^2; \quad I_{x1} = I_{y1} = 26,9 \text{ см}^4; \quad z_0 = 1,78 \text{ см} \] 2. Определение центра тяжести сечения (\( Y_c \)): Примем за базовую ось \( X \), проходящую через центры тяжести нижних уголков. Тогда координаты центров тяжести профилей по вертикали: \[ y_1 = y_2 = 0 \text{ см} \] \[ y_3 = z_{0(уголка)} + z_{0(швеллера)} = 1,78 + 1,94 = 3,72 \text{ см} \] \[ y_4 = z_{0(уголка)} + \text{толщина листа} + \frac{h_{двутавра}}{2} = 1,78 + 0,51 + \frac{20}{2} = 12,29 \text{ см} \] Вычисляем координату центра тяжести всего сечения: \[ Y_c = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3 + A_4 y_4}{A_1 + A_2 + A_3 + A_4} \] \[ Y_c = \frac{7,28 \cdot 0 + 7,28 \cdot 0 + 20,7 \cdot 3,72 + 26,8 \cdot 12,29}{7,28 + 7,28 + 20,7 + 26,8} = \frac{406,376}{62,06} \approx 6,548 \text{ см} \] 3. Осевой момент инерции относительно центральной оси \( X_c \): Используем формулу \( I_{Xc} = \sum (I_{xi} + a_i^2 A_i) \), где \( a_i = y_i - Y_c \): \[ a_1 = a_2 = 0 - 6,548 = -6,548 \text{ см} \] \[ a_3 = 3,72 - 6,548 = -2,828 \text{ см} \] \[ a_4 = 12,29 - 6,548 = 5,742 \text{ см} \] \[ I_{Xc} = 2 \cdot (26,9 + (-6,548)^2 \cdot 7,28) + (1090 + (-2,828)^2 \cdot 20,7) + (1840 + 5,742^2 \cdot 26,8) \] \[ I_{Xc} = 2 \cdot (26,9 + 312,14) + (1090 + 165,55) + (1840 + 883,61) \] \[ I_{Xc} = 678,08 + 1255,55 + 2723,61 = 4657,24 \text{ см}^4 \] 4. Осевой момент инерции относительно центральной оси \( Y_c \): Так как сечение симметрично относительно оси \( Y \), центры тяжести швеллера и двутавра лежат на этой оси (\( b_3 = b_4 = 0 \)). Для уголков расстояние \( b_1 = b_2 = 7,52 \text{ см} \). \[ I_{Yc} = 2 \cdot (I_{y1} + b_1^2 A_1) + I_{y3} + I_{y4} \] \[ I_{Yc} = 2 \cdot (26,9 + 7,52^2 \cdot 7,28) + 86 + 115 \] \[ I_{Yc} = 2 \cdot (26,9 + 411,69) + 201 = 877,18 + 201 = 1078,18 \text{ см}^4 \] Ответ: Главные центральные моменты инерции сечения: \[ I_{Xc} = 4657,24 \text{ см}^4 \] \[ I_{Yc} = 1078,18 \text{ см}^4 \]