Доказательство: n^3 + 11n кратно 6

Для доказательства того, что выражение \(n^3 + 11n\) кратно 6 для любого натурального \(n\), преобразуем данное выражение так, чтобы выделить произведение последовательных чисел. Дано: \[A = n^3 + 11n\] Доказательство: 1. Представим число 11 как \(12 - 1\). Тогда выражение примет вид: \[n^3 + (12 - 1)n = n^3 - n + 12n\] 2. Разложим разность \(n^3 - n\) на множители, вынеся \(n\) за скобки и используя формулу разности квадратов: \[n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)\] 3. Теперь наше исходное выражение выглядит так: \[A = (n - 1)n(n + 1) + 12n\] 4. Рассмотрим первое слагаемое: \((n - 1)n(n + 1)\). Это произведение трех последовательных целых чисел. Среди трех последовательных чисел: - Как минимум одно обязательно делится на 2. - Ровно одно обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение делится на \(2 \cdot 3 = 6\). 5. Рассмотрим второе слагаемое: \(12n\). Так как 12 делится на 6 (\(12 = 6 \cdot 2\)), то и произведение \(12n\) делится на 6 при любом целом \(n\). 6. Вывод: Так как оба слагаемых (\((n - 1)n(n + 1)\) и \(12n\)) делятся на 6, то и их сумма \(n^3 + 11n\) также делится на 6. Что и требовалось доказать.