Доказательство, что ABCD - прямоугольник: Решение задачи

На основе предоставленной фотографии, запишем решение задачи в тетрадь. Дано: Вершины четырехугольника \(ABCD\): \(A(3; -2)\) \(B(4; 0)\) \(C(2; 1)\) \(D(1; -1)\) (Примечание: на фото координаты точки \(D\) указаны как \((1; -1)\), а \(B\) как \((4; 0)\)). Доказать: \(ABCD\) — прямоугольник. Доказательство: 1. Докажем, что \(ABCD\) — параллелограмм. Для этого найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\). Формула координат вектора: \(\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)\). \[ \vec{AB} = (4 - 3; 0 - (-2)) = (1; 2) \] \[ \vec{DC} = (2 - 1; 1 - (-1)) = (1; 2) \] Так как координаты векторов равны (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)), то стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны. Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм. 2. Докажем, что у параллелограмма есть прямой угол (угол \(A = 90^\circ\)). Для этого найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\). Если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны. Найдем координаты вектора \(\vec{AD}\): \[ \vec{AD} = (1 - 3; -1 - (-2)) = (-2; 1) \] Вычислим скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \] Так как скалярное произведение равно \(0\), то \(\vec{AB} \perp \vec{AD}\), следовательно, \(\angle A = 90^\circ\). Вывод: Так как \(ABCD\) — параллелограмм с прямым углом, то по определению \(ABCD\) является прямоугольником. Что и требовалось доказать.