Доказательство перпендикулярности плоскостей в кубе (Задача №5)

Ниже представлено доказательство для задач №5 и №10 из предложенного списка, оформленное для записи в тетрадь. Задача №5. Доказать, что \( (FEH) \perp (AA_1B_1) \). Дано: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — куб. Точки \( F, E, G, H \) — середины ребер \( AA_1, BB_1, DD_1, CC_1 \) соответственно. Доказательство: 1. Рассмотрим прямую \( FE \). Так как \( F \) — середина \( AA_1 \), а \( E \) — середина \( BB_1 \), и \( AA_1 \parallel BB_1 \), то отрезок \( FE \) параллелен сторонам основания \( AB \) и \( A_1B_1 \). 2. В кубе боковое ребро \( AA_1 \) перпендикулярно плоскости основания, следовательно, \( AA_1 \perp AB \). Так как \( FE \parallel AB \), то \( AA_1 \perp FE \). 3. Также в кубе грань \( AA_1B_1B \) перпендикулярна грани \( ABCD \). Прямая \( FG \), лежащая в плоскости \( (FEH) \), перпендикулярна плоскости \( (AA_1B_1) \), так как \( FG \parallel AD \) и \( AD \perp (AA_1B_1) \). 4. Согласно признаку перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 5. Так как \( FG \perp (AA_1B_1) \) и \( FG \subset (FEH) \), то \( (FEH) \perp (AA_1B_1) \). Что и требовалось доказать. Задача №10. Доказать, что \( (DBB_1) \perp (ACC_1) \). Дано: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — куб. Доказательство: 1. Рассмотрим основание куба — квадрат \( ABCD \). Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, следовательно, \( AC \perp BD \). 2. Боковое ребро \( BB_1 \) перпендикулярно плоскости основания \( (ABC) \). Значит, \( BB_1 \) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, то есть \( BB_1 \perp AC \). 3. Получаем, что прямая \( AC \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( BD \) и \( BB_1 \), лежащим в плоскости \( (DBB_1) \). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: \( AC \perp (DBB_1) \). 4. Плоскость \( (ACC_1) \) проходит через прямую \( AC \), которая перпендикулярна плоскости \( (DBB_1) \). 5. По признаку перпендикулярности плоскостей, если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Следовательно, \( (DBB_1) \perp (ACC_1) \). Что и требовалось доказать.