Решение задач из домашнего задания на 04.02

Ниже представлены решения задач из вашего домашнего задания, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 (про осадок) Дано: \( a_1 = 0,4 \, \text{г} \) (масса за 1-ю минуту) \( d = 0 \) (масса не меняется, процесс равномерный) \( n = 9 \) минут Найти: \( m \) Решение: Так как каждую минуту образуется одинаковое количество осадка, общая масса через 9 минут вычисляется простым умножением: \[ m = 0,4 \cdot 9 = 3,6 \, \text{г} \] Ответ: 3,6 г. Задача 2 (про улитку) Дано: Арифметическая прогрессия. \( a_1 + a_n = 6,5 \, \text{м} \) \( S_n = 52 \, \text{м} \) Найти: \( n \) Решение: Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] Подставим известные значения: \[ 52 = \frac{6,5}{2} \cdot n \] \[ 52 = 3,25 \cdot n \] \[ n = \frac{52}{3,25} = 16 \] Ответ: 16 дней. Задача 3 (про реагент) Дано: \( t_0 = -3,1 \, ^\circ\text{C} \) \( \Delta t = -6,1 \, ^\circ\text{C/мин} \) \( \tau = 7 \, \text{мин} \) Найти: \( t_7 \) Решение: Температура через 7 минут составит: \[ t_7 = t_0 + (\Delta t \cdot \tau) \] \[ t_7 = -3,1 + (-6,1 \cdot 7) \] \[ t_7 = -3,1 - 42,7 = -45,8 \, ^\circ\text{C} \] Ответ: -45,8 градусов Цельсия. Задача 4 (про воздушные ванны) Дано: \( a_1 = 15 \, \text{мин} \) \( d = 10 \, \text{мин} \) \( a_n = 1 \, \text{ч} \, 15 \, \text{мин} = 75 \, \text{мин} \) Найти: \( n \) Решение: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + d(n - 1) \] \[ 75 = 15 + 10(n - 1) \] \[ 60 = 10(n - 1) \] \[ 6 = n - 1 \] \[ n = 7 \] Ответ: в 7-й день. Задача 1 (про население города) Дано: \( a_{2007} = 64100 \) \( a_{2016} = 72470 \) Количество лет между 2007 и 2016: \( n = 2016 - 2007 = 9 \) Найти: \( a_{2013} \) Решение: 1) Найдем ежегодный прирост \( d \): \[ a_{2016} = a_{2007} + 9d \] \[ 72470 = 64100 + 9d \] \[ 8370 = 9d \] \[ d = 930 \, \text{чел/год} \] 2) Найдем численность к концу 2013 года (прошло 6 лет после 2007): \[ a_{2013} = a_{2007} + 6d \] \[ a_{2013} = 64100 + 6 \cdot 930 = 64100 + 5580 = 69680 \] Ответ: 69680 человек. Задача 3 (про грузовик) Дано: \( S_{10} = 170 \, \text{т} \) \( a_1 = 8 \, \text{т} \) \( n = 10 \) Найти: \( a_7 \) Решение: 1) Найдем разность прогрессии \( d \) из формулы суммы: \[ S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n \] \[ 170 = \frac{2 \cdot 8 + d(10 - 1)}{2} \cdot 10 \] \[ 170 = (16 + 9d) \cdot 5 \] \[ 34 = 16 + 9d \] \[ 18 = 9d \Rightarrow d = 2 \] 2) Найдем массу за седьмой день: \[ a_7 = a_1 + 6d \] \[ a_7 = 8 + 6 \cdot 2 = 20 \, \text{т} \] Ответ: 20 тонн. Задача 4 (про инфузорий) Дано: Геометрическая прогрессия. \( q = 2 \) (деление надвое) \( n = 6 \) (количество делений) \( b_{n+1} = 960 \) (после 6 делений это 7-й член прогрессии) Найти: \( b_1 \) Решение: Формула n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_{n+1} = b_1 \cdot q^n \] \[ 960 = b_1 \cdot 2^6 \] \[ 960 = b_1 \cdot 64 \] \[ b_1 = \frac{960}{64} = 15 \] Ответ: 15 инфузорий.