Решение задачи по Экспертным Системам: Некатегорическая логика

Ниже представлено подробное решение задач Варианта 7, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача 1 Дано: Всего вопросов \(N = 25\), Маша знает \(M = 20\). Профессор задает \(k = 3\) вопроса. а) Событие А — Маша ответит на все три вопроса. Используем классическое определение вероятности и формулу сочетаний \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\). Общее число способов выбрать 3 вопроса из 25: \[ n = C_{25}^3 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 2300 \] Число благоприятных исходов (выбор 3 вопросов из 20 известных): \[ m = C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 1140 \] Вероятность: \[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1140}{2300} = \frac{57}{115} \approx 0,496 \] б) Событие B — Маша ответит хотя бы на один вопрос. Проще найти вероятность противоположного события \(\bar{B}\) — Маша не ответит ни на один вопрос (выберет 3 из 5 неизвестных). \[ m_{\bar{B}} = C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 10 \] \[ P(\bar{B}) = \frac{10}{2300} = \frac{1}{230} \] Тогда искомая вероятность: \[ P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{230} = \frac{229}{230} \approx 0,996 \] Ответ: а) 0,496; б) 0,996. Задача 2 Используем формулу Байеса. Пусть гипотезы \(H_i\) — телевизор поступил от \(i\)-го поставщика. Отношение 1:4:5 дает общее количество частей \(1+4+5=10\). Вероятности гипотез: \[ P(H_1) = 0,1; \quad P(H_2) = 0,4; \quad P(H_3) = 0,5 \] Вероятности брака (ремонта) для каждого поставщика: \[ P(A|H_1) = 1 - 0,98 = 0,02 \] \[ P(A|H_2) = 1 - 0,88 = 0,12 \] \[ P(A|H_3) = 1 - 0,92 = 0,08 \] Полная вероятность брака: \[ P(A) = 0,1 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,12 + 0,5 \cdot 0,08 = 0,002 + 0,048 + 0,04 = 0,09 \] Вероятность того, что бракованный телевизор от первого поставщика: \[ P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)} = \frac{0,1 \cdot 0,02}{0,09} = \frac{0,002}{0,09} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} \approx 0,022 \] Ответ: 0,022. Задача 3 Противник равносильный, значит вероятность выигрыша в одной партии \(p = 0,5\), проигрыша \(q = 0,5\). Используем формулу Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}\). 1) Не менее 3 из 4: \[ P_4(k \ge 3) = P_4(3) + P_4(4) = C_4^3 (0,5)^4 + C_4^4 (0,5)^4 = (4 + 1) \cdot 0,0625 = 0,3125 \] 2) Не менее 6 из 7: \[ P_7(k \ge 6) = P_7(6) + P_7(7) = C_7^6 (0,5)^7 + C_7^7 (0,5)^7 = (7 + 1) \cdot \frac{1}{128} = \frac{8}{128} = 0,0625 \] Сравним: \(0,3125 > 0,0625\). Ответ: Вероятнее выиграть не менее 3 партий из 4. Задача 4 Всего \(N = 2000\), неисправных \(M = 10\), исправных \(2000 - 10 = 1990\). Выбирают \(n = 7\). Событие А: среди 7 аккумуляторов 6 исправных и 1 неисправный. \[ P(A) = \frac{C_{1990}^6 \cdot C_{10}^1}{C_{2000}^7} \] Так как выборка мала по сравнению с общим числом, можно использовать приближение биномиальным распределением, где \(p = \frac{1990}{2000} = 0,995\), \(q = 0,005\). \[ P \approx C_7^6 \cdot (0,995)^6 \cdot (0,005)^1 = 7 \cdot 0,9703 \cdot 0,005 \approx 0,034 \] Ответ: 0,034. Задача 5 \(X\) — число "не выпадений" шестерки. При одном броске вероятность "не шестерки" \(p = 5/6\), вероятность шестерки \(q = 1/6\). Бросков \(n = 4\). Случайная величина \(X\) может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. \[ P(X=k) = C_4^k \cdot (5/6)^k \cdot (1/6)^{4-k} \] \(P(0) = C_4^0 (5/6)^0 (1/6)^4 = 1/1296 \approx 0,0008\) \(P(1) = C_4^1 (5/6)^1 (1/6)^3 = 20/1296 \approx 0,0154\) \(P(2) = C_4^2 (5/6)^2 (1/6)^2 = 150/1296 \approx 0,1157\) \(P(3) = C_4^3 (5/6)^3 (1/6)^1 = 500/1296 \approx 0,3858\) \(P(4) = C_4^4 (5/6)^4 (1/6)^0 = 625/1296 \approx 0,4823\) Математическое ожидание для биномиального распределения: \[ M(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{6} = 3,33 \] Задача 6 1) Находим параметр \(a\) из условия непрерывности \(F(2) = 1\): \[ a(2^2 - 2) = 1 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = 0,5 \] 2) Плотность распределения \(f(x) = F'(x)\): При \(1 < x \le 2\): \(f(x) = (0,5(x^2 - x))' = 0,5(2x - 1) = x - 0,5\). В остальных точках \(f(x) = 0\). 3) Математическое ожидание: \[ M(x) = \int_1^2 x(x - 0,5) dx = \int_1^2 (x^2 - 0,5x) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{0,5x^2}{2}]_1^2 = (\frac{8}{3} - 1) - (\frac{1}{3} - 0,25) = \frac{7}{3} - 0,75 \approx 1,583 \] 4) Дисперсия \(D(x) = M(x^2) - (M(x))^2\): \[ M(x^2) = \int_1^2 x^2(x - 0,5) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{0,5x^3}{3}]_1^2 = (4 - \frac{4}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{8}{3} - \frac{1}{12} = \frac{31}{12} \approx 2,583 \] \[ D(x) = 2,583 - (1,583)^2 \approx 0,077 \] 5) Среднее квадратическое отклонение: \[ \sigma = \sqrt{D(x)} = \sqrt{0,077} \approx 0,277 \] Задача 7 (кратко) Для решения этой задачи необходимо сначала упорядочить данные (вариационный ряд). Данные: 16, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30. Объем выборки \(n = 30\). Размах \(R = 30 - 16 = 14\). Выборочная средняя \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{645}{30} = 21,5\). Далее строятся интервалы (обычно 5-6 интервалов длиной 3) и вычисляются характеристики по стандартным формулам статистики. Доверительный интервал для \(M(x)\) при \(\gamma = 0,95\): \[ \bar{x} - t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \] где \(t_{\gamma}\) берется из таблицы Стьюдента.