Энергия гармонических колебаний: решение и формулы

Рассмотрим энергию тела массой \( m \), совершающего гармонические колебания на пружине с жесткостью \( k \). 1. Кинетическая энергия. Скорость тела при гармонических колебаниях изменяется по закону: \[ v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0) \] Кинетическая энергия определяется формулой: \[ E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2}\sin^2(\omega t + \varphi_0) \] Учитывая, что \( \omega^2 = \frac{k}{m} \), можно записать: \[ E_k = \frac{kA^2}{2}\sin^2(\omega t + \varphi_0) \] 2. Потенциальная энергия. Смещение тела от положения равновесия: \[ x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0) \] Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: \[ E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t + \varphi_0) \] 3. Полная механическая энергия. Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий: \[ E = E_k + E_p \] \[ E = \frac{kA^2}{2}\sin^2(\omega t + \varphi_0) + \frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t + \varphi_0) \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ E = \frac{kA^2}{2} (\sin^2(\omega t + \varphi_0) + \cos^2(\omega t + \varphi_0)) \] Так как сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента равна единице (основное тригонометрическое тождество), получаем: \[ E = \frac{kA^2}{2} \] Вывод: Полная механическая энергия гармонических колебаний является величиной постоянной и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В процессе колебаний происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.