Энергия гармонических колебаний: Решение

Энергия гармонических колебаний Гармонические колебания — это периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса. В механической колебательной системе (например, груз на пружине) полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. 1. Потенциальная энергия Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины) определяется формулой: \[E_p = \frac{kx^2}{2}\] Где: k — жесткость пружины; x — смещение тела от положения равновесия. Так как при гармонических колебаниях смещение изменяется по закону \(x = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)\), то: \[E_p = \frac{kA^2}{2} \cos^2(\omega_0 t + \phi_0)\] 2. Кинетическая энергия Кинетическая энергия движущегося тела массой m определяется формулой: \[E_k = \frac{mv^2}{2}\] Скорость v есть производная смещения по времени: \(v = x' = -A \omega_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)\). Тогда: \[E_k = \frac{mA^2 \omega_0^2}{2} \sin^2(\omega_0 t + \phi_0)\] Учитывая, что \(\omega_0^2 = \frac{k}{m}\), формулу можно переписать через жесткость: \[E_k = \frac{kA^2}{2} \sin^2(\omega_0 t + \phi_0)\] 3. Полная механическая энергия Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий: \[E = E_k + E_p\] Подставим значения: \[E = \frac{kA^2}{2} \sin^2(\omega_0 t + \phi_0) + \frac{kA^2}{2} \cos^2(\omega_0 t + \phi_0)\] Вынесем общий множитель за скобки: \[E = \frac{kA^2}{2} (\sin^2(\omega_0 t + \phi_0) + \cos^2(\omega_0 t + \phi_0))\] Используя основное тригонометрическое тождество (\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)), получаем: \[E = \frac{kA^2}{2} = \text{const}\] Вывод: Полная энергия гармонических колебаний не зависит от времени и прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В идеальной системе без трения происходит постоянный переход энергии из потенциальной в кинетическую и обратно, но их сумма остается неизменной.