Формула Стокса: Решение и Объяснение

Формула Стокса в математике (математическом анализе) Формула Стокса является обобщением формулы Грина и связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, натянутой на этот контур. Она играет ключевую роль в векторном анализе и классической электродинамике. Запишем формулу в векторном виде: \[ \oint_{L} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_{S} (\text{rot} \vec{A}) \cdot d\vec{S} \] Где: \( L \) — замкнутый контур (граница поверхности); \( S \) — гладкая ориентированная поверхность, ограниченная контуром \( L \); \( \vec{A} \) — векторное поле; \( \text{rot} \vec{A} \) — ротор векторного поля (вихрь); \( d\vec{l} \) — элемент длины контура; \( d\vec{S} \) — векторный элемент площади поверхности. Запись через координаты (в декартовой системе): Если векторное поле задано как \( \vec{A} = (P, Q, R) \), то формула принимает вид: \[ \oint_{L} P dx + Q dy + R dz = \iint_{S} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dydz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dzdx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy \] Физический смысл: Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через поверхность, ограниченную данным контуром. Математическое наследие: Данная формула является фундаментальной для понимания физических процессов. В российской математической школе, основанной на трудах великих ученых, таких как Остроградский, изучению этих связей уделяется особое внимание, так как они лежат в основе описания электромагнитных полей и аэродинамики, что критически важно для технологического суверенитета нашей страны.