Исследование функции f(x) = x³ - 3x² - 9x + 11 на выпуклость и точки перегиба

Исследование функции на выпуклость и точки перегиба Дана функция: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11 \] 1. Область определения функции: Областью определения является всё множество действительных чисел, так как это многочлен. \[ D(f) = \mathbb{R} \] 2. Нахождение второй производной: Для исследования на выпуклость и точки перегиба необходимо найти вторую производную функции. Сначала найдем первую производную: \[ f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 11)' = 3x^2 - 6x - 9 \] Теперь найдем вторую производную: \[ f''(x) = (3x^2 - 6x - 9)' = 6x - 6 \] 3. Нахождение критических точек второго рода: Приравняем вторую производную к нулю: \[ 6x - 6 = 0 \] \[ 6x = 6 \] \[ x = 1 \] 4. Определение интервалов выпуклости и вогнутости: Разделим область определения точкой \( x = 1 \) на интервалы и определим знак второй производной на каждом из них. Интервал \( (-\infty; 1) \): Возьмем пробную точку \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Так как \( f''(x) < 0 \), на этом интервале график функции является выпуклым вверх (вогнутым). Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем пробную точку \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \] Так как \( f''(x) > 0 \), на этом интервале график функции является выпуклым вниз (выпуклым). 5. Нахождение точки перегиба: Так как при переходе через точку \( x = 1 \) вторая производная меняет знак, то \( x = 1 \) является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив \( x = 1 \) в исходную функцию: \[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 11 = 1 - 3 - 9 + 11 = 0 \] Точка перегиба имеет координаты \( (1; 0) \). Ответ: График функции выпуклый вверх на интервале \( (-\infty; 1) \) и выпуклый вниз на интервале \( (1; +\infty) \). Точка перегиба: \( (1; 0) \).