Геометрия 8 класс: Решение теоретических задач

Ниже представлены краткие и точные ответы на теоретические вопросы по главе VIII геометрии 8 класса, сформулированные специально для записи в школьную тетрадь. 1. Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. 2. Отрезки \(AB\) и \(CD\) называются пропорциональными отрезкам \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\), если их отношения равны: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} \] 3. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. 4. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \[ \frac{S}{S_1} = k^2 \] 5. Первый признак подобия треугольников (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 6. Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 7. Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 8. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. 9. Теорема о медианах: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. 10. Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. 11. Утверждение о пропорциональных отрезках: - Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза. - Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. 12. Пример задачи на построение методом подобия: Построение треугольника по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла. Сначала строится произвольный треугольник с данными углами, а затем искомый треугольник, подобный построенному. 13. Определение высоты предмета: Используется шест с известной длиной или зеркало, на основе подобия прямоугольных треугольников, образованных предметом и его тенью (или шестом и его тенью). Определение расстояния до недоступной точки: На местности строится треугольник, одна из вершин которого — недоступная точка, и на доступном участке строится подобный ему треугольник в меньшем масштабе. 14. Две фигуры называются подобными, если одну из них можно получить из другой путем изменения всех ее линейных размеров в одно и то же число раз (преобразование подобия). Число \(k\), равное отношению сходственных линейных размеров, называется коэффициентом подобия. 15. В прямоугольном треугольнике: - Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. - Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. - Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему. 16. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого, то такие треугольники подобны (по первому признаку). У подобных треугольников отношения сходственных сторон равны, следовательно, значения синуса, косинуса и тангенса зависят только от величины угла, а не от размеров треугольника. 17. Основным тригонометрическим тождеством называют равенство: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] 18. Значения тригонометрических функций: Для \(30^\circ\): \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\text{tg } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Для \(45^\circ\): \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\text{tg } 45^\circ = 1\). Для \(60^\circ\): \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\text{tg } 60^\circ = \sqrt{3}\). Обоснование: Эти значения выводятся из свойств прямоугольного треугольника с углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\) (катет против угла в \(30^\circ\) равен половине гипотенузы) и равнобедренного прямоугольного треугольника для угла \(45^\circ\).