Решение уравнения x²-2x-9=0 через дискриминант и теорему Виета

Решение квадратного уравнения Дано уравнение: \[ x^2 - 2x - 9 = 0 \] 1. Решим уравнение через дискриминант. Выпишем коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -9 \). Находим дискриминант по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. \[ \sqrt{D} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \] Находим корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10} \] \[ x_2 = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10} \] 2. Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Для приведенного квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) должны выполняться условия: \[ x_1 + x_2 = -p \] \[ x_1 \cdot x_2 = q \] В нашем случае \( p = -2 \), значит \( -p = 2 \). Коэффициент \( q = -9 \). Проверим сумму корней: \[ (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 1 + \sqrt{10} + 1 - \sqrt{10} = 2 \] Условие \( 2 = 2 \) выполняется. Проверим произведение корней (используя формулу разности квадратов): \[ (1 + \sqrt{10}) \cdot (1 - \sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9 \] Условие \( -9 = -9 \) выполняется. Ответ: \( x_1 = 1 + \sqrt{10} \); \( x_2 = 1 - \sqrt{10} \).