Задача №5: Площадь треугольника, отсеченного средней линией

Задача №5 Условие: Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, отсеченного от него средней линией? Решение: 1. Пусть \(ABC\) — исходный треугольник, а \(MN\) — его средняя линия, где \(M\) — середина стороны \(AB\), а \(N\) — середина стороны \(AC\). 2. По свойству средней линии треугольника, отрезок \(MN\) параллелен стороне \(BC\) и равен её половине: \[ MN = \frac{1}{2} BC \] 3. Треугольник \(AMN\) подобен треугольнику \(ABC\) по двум углам (угол \(A\) — общий, \(\angle AMN = \angle ABC\) как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(BC\)). 4. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[ k = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2} \] 5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 \] \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \] Ответ: площадь отсеченного треугольника составляет \( \frac{1}{4} \) часть площади исходного треугольника. Чертеж для тетради: Нарисуйте произвольный треугольник \(ABC\). Отметьте точку \(M\) на середине стороны \(AB\) и точку \(N\) на середине стороны \(AC\). Соедините точки \(M\) и \(N\) прямой линией. Полученный сверху маленький треугольник \(AMN\) и будет искомым. Схематичный вид чертежа:
          A
         /  \
       M/____\N
     /          \
   B/____________\C