help_outlineУсловие задачи
I. Тесты
1. В какой из указанных ниже многоугольников невозможно вписать окружност
A) Треугольник;
B) Квадрат, отличный от ромба;
C) Квадрат;
D) Прямоугольник, отличный от ромбя
2. Около какого из указанных ниже многоугольников невозможно описать окружность?
A) Треугольник;
B) Ромб, отличный от квадрата;
C) Квадрат;
D) Прямоугольник, отличный от ромба.
3. Пусть прямоугольник ABCD вписан в некоторую окружность. Укажите неверное утверждение.
A) ZA+ZB+ZC+ZD =360";
C) AB+CD=BC+AD;
B) ZA+ZC =180";
D) ZB+ZD =180°.
4. Пусть прямоугольник ABCD описан около некоторой окружности. Укажите неверное утверждение.
A) ZA+ZB+ZC+ZD =360";
C) AB+CD=BC+AD;
B) ZA+ZC =180":
D) AB-BC=AD-CD.
5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см.
A) 6 см;B)
6,5 см;
C) 7 см;
D) 7,5 см.
6. Найдите внутренний угол правильного 24-угольника.
A) 120"
B) 135'
C) 150
D) 165".
7. Найдите сумму внутренних углов правильного многоугольника, если каждый внешний угол равен 60".
A) 540";
B) 360";
C) 90";
D) 720".
Письменно с дано и решениями
lightbulbКраткий ответ
Решение задач на вписанные и описанные окружности для четырехугольников. Узнайте, в каких случаях можно вписать или описать окружность вокруг ромба, прямоугольника, квадрата и треугольника.
I. Тесты
1. Ответ: D) Прямоугольник, отличный от ромба.
(В четырехугольник можно вписать окружность, только если суммы его противоположных сторон равны. У прямоугольника, не являющегося квадратом, это условие не выполняется).
2. Ответ: B) Ромб, отличный от квадрата.
(Около четырехугольника можно описать окружность, только если сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\). У ромба, углы которого не равны \(90^\circ\), это условие не выполняется).
3. Ответ: C) AB+CD=BC+AD.
(Это свойство описанного четырехугольника, а в условии дан вписанный прямоугольник).
4. Ответ: D) AB-BC=AD-CD.
(Если прямоугольник описан около окружности, он является квадратом. Утверждение D не является характерным свойством, в то время как остальные описывают углы или суммы сторон).
5. Ответ: B) 6,5 см.
Дано:
Прямоугольник ABCD;
\(a = 5\) см;
\(b = 12\) см.
Найти: \(R\) — ?
Решение:
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. Найдем диагональ \(d\) по теореме Пифагора:
\[d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\]
\[R = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6,5 \text{ см}\]
6. Ответ: D) 165°.
Дано:
\(n = 24\).
Найти: \(\alpha\) — ?
Решение:
Внутренний угол правильного \(n\)-угольника вычисляется по формуле:
\[\alpha = \frac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}\]
Подставим значение:
\[\alpha = \frac{180^\circ \cdot (24 - 2)}{24} = \frac{180^\circ \cdot 22}{24} = \frac{15^\circ \cdot 22}{2} = 15^\circ \cdot 11 = 165^\circ\]
7. Ответ: D) 720°.
Дано:
\(\beta = 60^\circ\) (внешний угол).
Найти: \(S\) (сумма внутренних углов) — ?
Решение:
1) Найдем количество сторон \(n\). Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\).
\[n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6\]
2) Найдем сумму внутренних углов по формуле:
\[S = 180^\circ \cdot (n - 2)\]
\[S = 180^\circ \cdot (6 - 2) = 180^\circ \cdot 4 = 720^\circ\]
