Давайте разберем вероятность удвоить капитал при использовании системы Мартингейла.
Предположим, у нас есть начальный капитал \(K\). Мы хотим удвоить его, то есть довести до \(2K\).
Пусть начальная ставка будет \(S\).
Предположим, что мы играем в игру с вероятностью выигрыша \(p\) и вероятностью проигрыша \(q = 1 - p\). Для простоты, будем считать, что выигрыш равен ставке (например, как в рулетке на красное/черное, где выигрыш 1 к 1).
Идеальный случай (бесконечный капитал и отсутствие лимитов)
Если бы у нас был бесконечный капитал и не было лимитов на ставки, то вероятность удвоить капитал была бы очень близка к 1 (или даже равна 1, если игра честная, то есть \(p = 0.5\)). Это потому, что рано или поздно вы обязательно выиграете, и этот выигрыш покроет все предыдущие проигрыши, принеся вам прибыль, равную начальной ставке.
Однако, как мы уже обсуждали, в реальном мире это невозможно.
Реальный случай (ограниченный капитал и лимиты ставок)
В реальном мире у нас есть ограниченный капитал \(K\) и, возможно, лимиты на максимальную ставку.
Давайте рассмотрим, сколько ставок мы можем сделать, прежде чем наш капитал иссякнет.
Пусть начальная ставка будет \(S\).
Последовательность ставок при проигрыше: \(S, 2S, 4S, 8S, \dots, 2^{n-1}S\).
Сумма проигранных ставок после \(n\) проигрышей: \(S + 2S + 4S + \dots + 2^{n-1}S = S(1 + 2 + \dots + 2^{n-1}) = S(2^n - 1)\).
Мы можем продолжать играть до тех пор, пока сумма проигранных ставок не превысит наш капитал \(K\).
То есть, мы можем выдержать \(N\) проигрышей подряд, если \(S(2^N - 1) < K\).
Или, более точно, мы можем сделать \(N\) ставок, где \(N\) - максимальное количество проигрышей подряд, которое мы можем выдержать, прежде чем следующая ставка превысит наш капитал или лимит.
Предположим, что мы можем выдержать \(N\) проигрышей подряд. Это означает, что мы можем сделать \(N+1\) ставку.
Если мы проиграем \(N\) раз подряд, то на \(N+1\)-й ставке нам нужно будет поставить \(2^N S\). Если эта сумма превышает наш оставшийся капитал или лимит, мы не сможем сделать эту ставку и потеряем всё.
Вероятность проиграть \(N\) раз подряд: \(q^N\).
Вероятность выиграть хотя бы один раз за \(N+1\) попыток (и, таким образом, получить прибыль, равную начальной ставке \(S\)): \(1 - q^{N+1}\).
Однако, вопрос не в получении прибыли \(S\), а в удвоении капитала \(K\).
Чтобы удвоить капитал \(K\), нам нужно получить прибыль, равную \(K\).
Если каждая успешная серия Мартингейла приносит нам прибыль \(S\), то нам нужно выиграть \(K/S\) таких серий.
Это значительно усложняет расчет. Давайте упростим задачу и рассмотрим вероятность потерять весь капитал.
Вероятность потерять весь капитал при Мартингейле (при условии, что мы можем выдержать \(N\) проигрышей подряд) равна вероятности проиграть \(N+1\) раз подряд: \(q^{N+1}\).
Тогда вероятность не потерять весь капитал (то есть, выиграть хотя бы одну серию и получить прибыль \(S\)) равна \(1 - q^{N+1}\).
Пример
Пусть у нас есть капитал \(K = 1000\) рублей.
Начальная ставка \(S = 10\) рублей.
Играем в игру с \(p = 0.5\) (например, подбрасывание монеты). Значит, \(q = 0.5\).
Последовательность ставок:
1. 10 руб.
2. 20 руб. (сумма проигрышей: 10)
3. 40 руб. (сумма проигрышей: 30)
4. 80 руб. (сумма проигрышей: 70)
5. 160 руб. (сумма проигрышей: 150)
6. 320 руб. (сумма проигрышей: 310)
7. 640 руб. (сумма проигрышей: 630)
На 8-й ставке нам нужно поставить \(2^7 \times 10 = 1280\) рублей.
Наш капитал 1000 рублей. Мы можем выдержать 6 проигрышей подряд (сумма проигрышей 630 руб.).
На 7-й ставке нам нужно поставить 640 руб. Если мы проиграем и эту ставку, то общая сумма проигрышей составит \(630 + 640 = 1270\) рублей, что превышает наш капитал.
Значит, мы можем выдержать \(N=6\) проигрышей подряд.
Вероятность проиграть 7 раз подряд: \(q^7 = (0.5)^7 = 1/128 \approx 0.0078\).
Это вероятность потерять весь капитал.
Вероятность выиграть хотя бы одну серию (и получить прибыль в 10 рублей) до того, как мы потеряем весь капитал: \(1 - q^7 = 1 - 1/128 = 127/128 \approx 0.9922\).
Вероятность удвоить капитал
Теперь вернемся к вопросу об удвоении капитала.
Чтобы удвоить капитал \(K\), нам нужно получить прибыль \(K\).
Каждая успешная серия Мартингейла приносит нам прибыль, равную начальной ставке \(S\).
Значит, нам нужно выиграть \(K/S\) таких серий.
В нашем примере: \(K = 1000\), \(S = 10\). Нам нужно выиграть \(1000/10 = 100\) серий.
Вероятность выиграть одну серию (до потери капитала) составляет \(P_{win\_series} = 1 - q^{N+1}\).
Вероятность проиграть весь капитал в одной серии: \(P_{lose\_capital} = q^{N+1}\).
Если мы хотим удвоить капитал, нам нужно выиграть 100 серий, не проиграв весь капитал ни в одной из них.
Это не совсем корректный подход, потому что после каждой успешной серии наш капитал увеличивается, и мы можем выдержать больше проигрышей.
Более точный подход к вероятности удвоения капитала при Мартингейле (или любой другой стратегии) обычно рассматривается через концепцию "разорения игрока".
Пусть \(P(k)\) - вероятность удвоить капитал, начиная с \(k\) единиц, прежде чем разориться (потерять все).
Для Мартингейла, если мы выигрываем, наш капитал увеличивается на \(S\). Если проигрываем, то уменьшается на сумму ставки.
Однако, если мы рассматриваем Мартингейл, то обычно его цель - получить небольшую фиксированную прибыль \(S\). Вероятность получить эту прибыль \(S\) до разорения (при условии, что мы можем выдержать \(N\) проигрышей) высока: \(1 - q^{N+1}\).
Но вероятность удвоить весь капитал \(K\) (то есть получить прибыль \(K\)) при использовании Мартингейла не так проста.
Каждый раз, когда мы выигрываем серию, мы получаем \(S\). Чтобы удвоить \(K\), нам нужно накопить \(K\) прибыли.
Это означает, что мы должны успешно завершить \(K/S\) серий Мартингейла, не разорившись ни в одной из них.
Вероятность удвоить капитал \(K\) при Мартингейле, где каждая успешная серия приносит \(S\), а вероятность разорения в одной серии \(q^{N+1}\), будет очень сложной для точного расчета без более сложных математических моделей (например, цепей Маркова или теории разорения игрока).
Однако, можно сказать следующее:
Вероятность удвоить капитал при Мартингейле ниже, чем вероятность просто получить прибыль \(S\) в одной серии.
Каждая новая серия Мартингейла несет в себе риск разорения. Чем больше серий нам нужно выиграть, тем выше совокупный риск.
Если \(P_{win\_series}\) - вероятность выиграть одну серию (получить \(S\)) до разорения, то вероятность выиграть \(M = K/S\) таких серий подряд (чтобы удвоить капитал) будет \( (P_{win\_series})^M \), если бы события были независимыми. Но они не независимы, так как разорение в любой момент прекращает игру.
Вывод
Вероятность удвоить капитал при Мартингейле не является высокой и не гарантирована.
Хотя вероятность выиграть одну конкретную серию Мартингейла (получить прибыль, равную начальной ставке \(S\)) может быть высокой (например, 99% в нашем примере), это не означает, что вероятность удвоить весь капитал \(K\) также высока.
Чтобы удвоить капитал, вам нужно многократно успешно завершать серии Мартингейла, и каждая такая серия несет в себе риск потери всего капитала. Чем больше прибыли вы хотите получить (то есть, чем ближе вы к удвоению капитала), тем больше серий вам нужно выиграть, и тем выше совокупный риск столкнуться с серией проигрышей, которая приведет к разорению.
В конечном итоге, математическое ожидание от использования Мартингейла в играх с отрицательным ожиданием всегда будет отрицательным. Это означает, что в долгосрочной перспективе вы, скорее всего, потеряете деньги, а не удвоите их.
Таким образом, вероятность удвоить капитал при Мартингейле, хотя и может быть выше, чем при однократной ставке всей суммы (если игра честная), достигается за счет принятия на себя риска потери всего капитала при наступлении серии проигрышей. И этот риск становится всё более значительным по мере того, как вы пытаетесь получить всё большую прибыль.
