Анализ Системы Мартингейла: Вероятность Удвоить Капитал

Хорошо, давайте рассчитаем конкретную вероятность удвоить капитал при следующих условиях: * Начальный капитал \(K = 100\) единиц. * Начальная ставка \(S = 1\) единица. * Игра с вероятностью выигрыша \(p = 0.5\) (например, подбрасывание монеты, где выигрыш равен ставке). Соответственно, вероятность проигрыша \(q = 1 - p = 0.5\). * Цель: удвоить капитал, то есть довести его до \(200\) единиц.

Шаг 1: Определим максимальное количество проигрышей подряд, которое мы можем выдержать.

Последовательность ставок при проигрыше: \(S, 2S, 4S, \dots, 2^{n-1}S\). Сумма проигранных ставок после \(n\) проигрышей: \(S(2^n - 1)\). Мы можем выдержать \(N\) проигрышей подряд, если сумма проигранных ставок \(S(2^N - 1)\) не превышает наш капитал \(K\). В нашем случае \(S=1\), \(K=100\). Значит, \(2^N - 1 < 100\). \(2^N < 101\). Давайте найдем максимальное \(N\): * \(2^1 = 2\) * \(2^2 = 4\) * \(2^3 = 8\) * \(2^4 = 16\) * \(2^5 = 32\) * \(2^6 = 64\) * \(2^7 = 128\) Таким образом, максимальное количество проигрышей подряд, которое мы можем выдержать, это \(N=6\). После 6 проигрышей подряд, сумма проигранных ставок составит \(1 \times (2^6 - 1) = 63\) единицы. На 7-й ставке нам нужно будет поставить \(2^6 \times 1 = 64\) единицы. Если мы проиграем 6 раз подряд, наш оставшийся капитал будет \(100 - 63 = 37\) единиц. Мы не сможем сделать 7-ю ставку в 64 единицы, так как у нас не хватит капитала. Значит, мы можем сделать максимум 6 ставок в серии Мартингейла. Если мы проиграем все 6, то на 7-й ставке мы не сможем продолжить и потеряем весь капитал. Таким образом, вероятность потерять весь капитал в одной серии Мартингейла (до того, как мы выиграем хотя бы раз) равна вероятности проиграть 6 раз подряд: \(P_{lose\_capital} = q^6 = (0.5)^6 = 1/64\). Вероятность выиграть одну серию Мартингейла (получить прибыль в 1 единицу) до потери капитала: \(P_{win\_series} = 1 - P_{lose\_capital} = 1 - 1/64 = 63/64\).

Шаг 2: Определим, сколько успешных серий Мартингейла нам нужно.

Чтобы удвоить капитал с 100 до 200 единиц, нам нужно получить прибыль в 100 единиц. Каждая успешная серия Мартингейла приносит нам прибыль, равную начальной ставке \(S=1\) единице. Значит, нам нужно выиграть \(M = K/S = 100/1 = 100\) успешных серий Мартингейла.

Шаг 3: Расчет вероятности удвоить капитал.

Это сложная задача, так как каждая серия не является полностью независимой. Если мы проигрываем весь капитал в любой из серий, игра заканчивается. Однако, мы можем использовать приближение или рассмотреть это как задачу о разорении игрока. В данном случае, мы хотим достичь 200 единиц, начиная со 100, при этом каждая "игра" (серия Мартингейла) либо приносит нам 1 единицу (с вероятностью \(P_{win\_series}\)), либо приводит к потере всего капитала (с вероятностью \(P_{lose\_capital}\)). Пусть \(P_{win\_series} = p' = 63/64\) и \(P_{lose\_capital} = q' = 1/64\). Мы начинаем с 100 единиц и хотим достичь 200 единиц, при этом каждая "игра" либо увеличивает наш капитал на 1, либо обнуляет его. Это классическая задача о разорении игрока. Вероятность достижения цели \(A\) (в нашем случае 200) до разорения (0) при начале с \(k\) (в нашем случае 100) и шаге в 1 единицу, когда вероятность выигрыша \(p'\) и проигрыша \(q'\), дается формулой: Если \(p' \ne q'\): \[ P_k = \frac{1 - (q'/p')^k}{1 - (q'/p')^A} \] где \(k\) - начальный капитал, \(A\) - целевой капитал. В нашем случае: \(k = 100\) \(A = 200\) \(p' = 63/64\) \(q' = 1/64\) Рассчитаем отношение \(q'/p'\): \(q'/p' = (1/64) / (63/64) = 1/63\). Теперь подставим значения в формулу: \[ P_{100} = \frac{1 - (1/63)^{100}}{1 - (1/63)^{200}} \] Поскольку \(1/63\) - это очень маленькое число, то \((1/63)^{100}\) и \((1/63)^{200}\) будут чрезвычайно малы и близки к нулю. Например, \((1/63)^{100}\) будет практически 0. Таким образом, \[ P_{100} \approx \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \]

Интерпретация результата

Этот результат означает, что вероятность удвоить капитал при Мартингейле, при данных условиях, очень близка к 1. Почему так? Потому что вероятность проиграть весь капитал в одной серии Мартингейла (\(1/64\)) очень мала. Каждая успешная серия приносит нам 1 единицу прибыли. Нам нужно 100 таких единиц. Поскольку вероятность проиграть весь капитал в любой момент очень мала, то очень вероятно, что мы будем постепенно накапливать по 1 единице, пока не достигнем 200.

Важное замечание

Этот расчет основан на предположении, что мы можем продолжать играть, пока не достигнем 200 или не потеряем все. Он не учитывает: 1. Лимиты стола: В реальных казино существуют лимиты на максимальную ставку, которые могут остановить серию Мартингейла раньше, чем закончится наш капитал. В нашем расчете мы исходили из того, что лимитов нет, кроме нашего собственного капитала. 2. Время: Для того чтобы выиграть 100 единиц по 1 единице за раз, может потребоваться очень много времени и очень много ставок.

Сравнение с однократной ставкой

Если бы мы поставили весь капитал 100 единиц один раз на игру с \(p=0.5\), вероятность удвоить его (получить 200) была бы 0.5. В случае Мартингейла, вероятность удвоить капитал (при данных условиях) значительно выше, близка к 1.

Заключение

При капитале 100 и начальной ставке 1, в игре с \(p=0.5\), и без учета лимитов стола, вероятность удвоить капитал с помощью системы Мартингейла очень высока, близка к 1 (примерно 0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999