Исследование функции y = x³ - 9x и построение графика

Задание: Исследовать функцию \( y = x^3 - 9x \) и построить её график. Решение: 1. Область определения функции: Так как функция является многочленом, она определена при любых значениях \( x \). \[ D(y) = \mathbb{R} \text{ или } x \in (-\infty; +\infty) \] 2. Четность или нечетность функции: Проверим условие \( y(-x) = -y(x) \): \[ y(-x) = (-x)^3 - 9(-x) = -x^3 + 9x = -(x^3 - 9x) = -y(x) \] Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат. 3. Точки пересечения с осями координат: С осью \( Oy \) (\( x = 0 \)): \[ y = 0^3 - 9 \cdot 0 = 0 \] Точка \( (0; 0) \). С осью \( Ox \) (\( y = 0 \)): \[ x^3 - 9x = 0 \] \[ x(x^2 - 9) = 0 \] \[ x(x - 3)(x + 3) = 0 \] Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = -3 \). Точки пересечения: \( (0; 0) \), \( (3; 0) \), \( (-3; 0) \). 4. Производная и экстремумы функции: Найдем производную: \[ y' = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9 \] Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: \[ 3x^2 - 9 = 0 \] \[ 3x^2 = 9 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1,7 \] Определим знаки производной на промежутках: - На \( (-\infty; -\sqrt{3}) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает) - На \( (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \): \( y' < 0 \) (функция убывает) - На \( (\sqrt{3}; +\infty) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает) Вычислим значения функции в точках экстремума: \[ y_{max} = y(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10,4 \] \[ y_{min} = y(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3} \approx -10,4 \] 5. Вторая производная и точки перегиба: \[ y'' = (3x^2 - 9)' = 6x \] При \( y'' = 0 \), \( x = 0 \). При \( x < 0 \) график выпуклый вверх, при \( x > 0 \) — выпуклый вниз. Точка \( (0; 0) \) является точкой перегиба. 6. Построение графика: Для построения графика используйте найденные точки: - Пересечения с осями: \( (-3; 0) \), \( (0; 0) \), \( (3; 0) \). - Максимум: \( (-1,7; 10,4) \). - Минимум: \( (1,7; -10,4) \). - Соедините точки плавной линией с учетом возрастания и убывания.