Исследование функции y = x³ - 3x² + 2 и построение графика

Задание: Исследовать функцию \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) и построить её график. Решение: 1. Область определения функции. Так как функция является многочленом, она определена при любых значениях \( x \). \[ D(y) = \mathbb{R} \text{ или } x \in (-\infty; +\infty) \] 2. Точки пересечения с осями координат. С осью \( Oy \) (при \( x = 0 \)): \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \] Точка пересечения: \( (0; 2) \). С осью \( Ox \) (при \( y = 0 \)): \[ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \] Заметим, что сумма коэффициентов равна \( 1 - 3 + 2 = 0 \), значит \( x = 1 \) — корень уравнения. Разделив многочлен на \( (x - 1) \), получим: \[ (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0 \] Находим корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 2 = 0 \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \] Точки пересечения: \( (1; 0) \), \( (1 + \sqrt{3}; 0) \approx (2,7; 0) \), \( (1 - \sqrt{3}; 0) \approx (-0,7; 0) \). 3. Исследование на четность и нечетность. \[ y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2 \] Так как \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). 4. Экстремумы и интервалы монотонности. Находим производную функции: \[ y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x \] Приравниваем производную к нулю: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \). Определим знаки производной на интервалах: - На \( (-\infty; 0) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает) - На \( (0; 2) \): \( y' < 0 \) (функция убывает) - На \( (2; +\infty) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает) Точки экстремума: Точка максимума: \( x_{max} = 0 \), \( y(0) = 2 \). Точка \( (0; 2) \). Точка минимума: \( x_{min} = 2 \), \( y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \). Точка \( (2; -2) \). 5. Точки перегиба и выпуклость. Находим вторую производную: \[ y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 \] Приравниваем к нулю: \[ 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \] - При \( x < 1 \): \( y'' < 0 \) (график выпуклый вверх) - При \( x > 1 \): \( y'' > 0 \) (график выпуклый вниз) Точка перегиба: \( x = 1 \), \( y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 0 \). Точка \( (1; 0) \). 6. Построение графика. Для построения графика используем характерные точки: - Пересечение с осями: \( (-0,7; 0) \), \( (0; 2) \), \( (1; 0) \), \( (2,7; 0) \). - Максимум: \( (0; 2) \). - Минимум: \( (2; -2) \). - Перегиб: \( (1; 0) \).