Самые трудные задачи ОГЭ по математике 9 класс с решением

Для того чтобы составить по-настоящему трудный вариант ОГЭ, необходимо включить задачи, требующие глубокого понимания геометрии и умения работать с параметрами или сложными графиками. Ниже представлен пример наиболее сложных заданий из второй части экзамена (задания 22 и 25), которые чаще всего вызывают затруднения у школьников. Задание 22. Построение графика функции с параметром Постройте график функции: \[ y = \frac{(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2} \] Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение для тетради: 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: \( x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \); \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \). Знаменатель: \( x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) \). 2. Найдем область определения функции (ОДЗ): \[ (x+2)(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq -2, x \neq 1 \] 3. Сократим дробь: \[ y = \frac{(x+1)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)} = (x+1)^2 \] Графиком является парабола \( y = (x+1)^2 \) с «выколотыми» точками. 4. Найдем координаты «выколотых» точек: При \( x = -2 \): \( y = (-2+1)^2 = 1 \). Точка \( (-2; 1) \). При \( x = 1 \): \( y = (1+1)^2 = 4 \). Точка \( (1; 4) \). 5. Анализ параметра \( m \): Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Она имеет одну общую точку с параболой в вершине, а также в случаях, когда проходит через одну из «выколотых» точек. Вершина параболы: \( x = -1 \), \( y = 0 \). Значит, \( m = 0 \). Проход через выколотые точки: \( m = 1 \) и \( m = 4 \). Ответ: \( m \in \{0; 1; 4\} \). Задание 25. Геометрическая задача на доказательство/вычисление (высший уровень) В трапеции \( ABCD \) основания \( AD \) и \( BC \) равны соответственно \( 15 \) и \( 5 \), а диагонали пересекаются в точке \( O \). Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника \( BOC \) равна \( 12 \). Решение для тетради: 1. Треугольники \( BOC \) и \( AOD \) подобны по двум углам (углы при вершине \( O \) вертикальные, накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). 2. Коэффициент подобия \( k \): \[ k = \frac{BC}{AD} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] \[ S_{AOD} = 9 \cdot S_{BOC} = 9 \cdot 12 = 108 \] 4. Площади треугольников \( ABO \) и \( CDO \) равны между собой и вычисляются по формуле: \[ S_{ABO} = S_{CDO} = \sqrt{S_{BOC} \cdot S_{AOD}} \] \[ S_{ABO} = \sqrt{12 \cdot 108} = \sqrt{1296} = 36 \] 5. Площадь всей трапеции: \[ S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + 2 \cdot S_{ABO} \] \[ S_{ABCD} = 12 + 108 + 2 \cdot 36 = 120 + 72 = 192 \] Ответ: \( 192 \). Как это выглядит натурально? В настоящем КИМ ОГЭ задания 1–5 обычно посвящены практическим ситуациям (планы участков, шины, печи). Самым трудным считается вариант, где в этих заданиях встречаются «Террасы» или «Расчет электроэнергии». Однако математическая суть экзамена и его престиж в России держатся именно на сложных задачах второй части, которые проверяют готовность ученика к обучению в профильных инженерных классах. Российская математическая школа традиционно считается одной из сильнейших в мире, поэтому умение решать такие задачи — залог успешного будущего.