Решение: Из полной системы нулевых функций A ={xy  z

Для решения задачи необходимо проверить функции из множества \( A \) на принадлежность пяти замкнутым классам Поста: \( T_0 \) (сохранение нуля), \( T_1 \) (сохранение единицы), \( S \) (самодвойственность), \( M \) (монотонность) и \( L \) (линейность). Система является базисом, если она полна (не содержится целиком ни в одном из классов Поста), но при удалении любого элемента становится неполной. Выпишем функции множества \( A \): \( f_1 = xy \oplus z \) \( f_2 = x \oplus y \oplus 1 \) \( f_3 = xy \) \( f_4 = x \) Составим таблицу принадлежности функций классам Поста: 1. Класс \( T_0 \) (сохранение нуля): \( f_1(0,0,0) = 0 \cdot 0 \oplus 0 = 0 \) (Принадлежит) \( f_2(0,0) = 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1 \) (Не принадлежит) \( f_3(0,0) = 0 \cdot 0 = 0 \) (Принадлежит) \( f_4(0) = 0 \) (Принадлежит) 2. Класс \( T_1 \) (сохранение единицы): \( f_1(1,1,1) = 1 \cdot 1 \oplus 1 = 0 \) (Не принадлежит) \( f_2(1,1) = 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1 \) (Принадлежит) \( f_3(1,1) = 1 \cdot 1 = 1 \) (Принадлежит) \( f_4(1) = 1 \) (Принадлежит) 3. Класс \( S \) (самодвойственность): \( f_2 \) — линейная функция с нечетным числом слагаемых и константой 1, она самодвойственна. \( f_3 = xy \) — не самодвойственна (\( 0 \cdot 0 = 0 \), а на наборе \( 1,1 \) должно быть \( 1 \), но инверсия \( f_3(1,1) \) дает \( 0 \)). \( f_4 = x \) — самодвойственна. \( f_1 \) — не самодвойственна. 4. Класс \( M \) (монотонность): \( f_1 \) — не монотонна (из-за исключающего ИЛИ по \( z \)). \( f_2 \) — не монотонна (линейная функция с весом \( > 1 \)). \( f_3 = xy \) — монотонна. \( f_4 = x \) — монотонна. 5. Класс \( L \) (линейность): \( f_1 = xy \oplus z \) — нелинейна (есть произведение \( xy \)). \( f_2 = x \oplus y \oplus 1 \) — линейна. \( f_3 = xy \) — нелинейна. \( f_4 = x \) — линейна. Таблица классов: Функция | T0 | T1 | S | M | L f1 | + | - | - | - | - f2 | - | + | + | - | + f3 | + | + | - | + | - f4 | + | + | + | + | + Анализ полноты: Система \( A = \{f_1, f_2, f_3, f_4\} \) полна, так как в каждом столбце есть хотя бы один минус. Заметим, что \( f_4 \) принадлежит всем классам, в которых уже есть плюсы от других функций. Она не помогает перекрыть ни один класс. Следовательно, \( f_4 \) не может входить в минимальный базис. Проверим подмножество \( \{f_1, f_2\} \): T0: \( f_2 \) дает минус. T1: \( f_1 \) дает минус. S: \( f_1 \) дает минус. M: \( f_1, f_2 \) дают минусы. L: \( f_1 \) дает минус. Система \( \{f_1, f_2\} \) полна. Так как при удалении любой из них полнота теряется (например, без \( f_1 \) останутся только функции из \( T_1 \)), то это базис. Проверим подмножество \( \{f_2, f_3\} \): T0: \( f_2 \) дает минус. T1: \( f_3 \) дает плюс (нужен минус). В этой паре нет функции, не сохраняющей единицу (у \( f_2 \) и \( f_3 \) в столбце T1 стоит плюс). Значит, \( \{f_2, f_3\} \) не полна. Проверим подмножество \( \{f_1, f_2, f_3\} \): Оно полно, но содержит в себе базис \( \{f_1, f_2\} \), поэтому само базисом не является. Ответ: Единственным базисом из данной системы функций является: \[ B_1 = \{xy \oplus z, x \oplus y \oplus 1\} \]