Конспект: Понятие непрерывной функции

Ниже представлен краткий и структурированный конспект по теме «Понятие непрерывной функции», который удобно переписать в школьную тетрадь. Тема: Понятие непрерывной функции в точке и на множестве 1. Определение непрерывности в точке Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_0\), если выполняются три условия: 1) Функция определена в точке \(x_0\) и некоторой её окрестности. 2) Существует предел функции в этой точке: \(\lim_{x \to x_0} f(x)\). 3) Предел функции равен значению функции в этой точке: \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\] Следствие: Для непрерывной функции можно менять местами знаки операции вычисления функции и предела: \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f\left(\lim_{x \to x_0} x\right)\] 2. Определение через приращения Пусть \(\Delta x = x - x_0\) — приращение аргумента, а \(\Delta y = f(x) - f(x_0)\) — приращение функции. Функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_0\), если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: \[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0\] 3. Односторонняя непрерывность — Непрерывность слева: \(\lim_{x \to x_0 - 0} f(x) = f(x_0)\) — Непрерывность справа: \(\lim_{x \to x_0 + 0} f(x) = f(x_0)\) Теорема: Функция непрерывна в точке \(x_0\) тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке и слева, и справа. 4. Непрерывность на множестве 1) На интервале: Функция непрерывна на интервале \((a, b)\), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. 2) На отрезке: Функция непрерывна на отрезке \([a, b]\), если она: — непрерывна на интервале \((a, b)\); — непрерывна в точке \(a\) справа; — непрерывна в точке \(b\) слева.