Конспект: Непрерывность элементарных функций

Ниже представлен краткий конспект по теме «Непрерывность элементарных функций», оформленный для записи в тетрадь. Тема: Непрерывность элементарных функций 1. Основная теорема Все основные элементарные функции (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические) непрерывны во всех точках своей области определения. 2. Примеры доказательств а) Для показательной функции \(f(x) = a^x\): Рассмотрим приращение функции в произвольной точке \(x_0\): \[\Delta y = a^{x_0 + \Delta x} - a^{x_0} = a^{x_0}(a^{\Delta x} - 1)\] Найдем предел при \(\Delta x \to 0\): \[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = a^{x_0} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} (a^{\Delta x} - 1) = a^{x_0}(1 - 1) = 0\] Так как предел приращения равен нулю, функция непрерывна на \((-\infty, +\infty)\). б) Для тригонометрических функций (на примере \(y = \sin x\)): \[\Delta y = \sin(x_0 + \Delta x) - \sin x_0 = 2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos(x_0 + \frac{\Delta x}{2})\] Так как \(\sin \frac{\Delta x}{2}\) — бесконечно малая величина, а \(\cos(x_0 + \frac{\Delta x}{2})\) — ограниченная функция, то их произведение стремится к нулю: \[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0\] Следовательно, \(\sin x\) непрерывен. 3. Непрерывность сложной функции и арифметических операций Определение: Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций и констант с помощью конечного числа арифметических действий и композиций (создания сложных функций). Теорема: Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения. Это следует из того, что: 1) Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций есть функция непрерывная (в случае частного — при условии, что знаменатель не равен нулю). 2) Композиция (суперпозиция) непрерывных функций также является непрерывной функцией.