Решение примера 6: Вычисление предела

Ниже представлено краткое и понятное решение примеров из вашего изображения, оформленное специально для переписывания в тетрадь. Пример 6. Вычислить предел: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[4]{5x^8 - 3x^3} + \sqrt{x^7 + 2x + 17}}{\sqrt[3]{x^9 + 1} - 3x^4 - 5x} \] Решение: Для нахождения предела при \( x \to \infty \) определим старшие степени числителя и знаменателя. 1. В числителе: - Степень первого слагаемого: \( \frac{8}{4} = 2 \). - Степень второго слагаемого: \( \frac{7}{2} = 3,5 \). Старшая степень числителя равна 3,5. 2. В знаменателе: - Степень первого слагаемого: \( \frac{9}{3} = 3 \). - Степень второго слагаемого: 4. Старшая степень знаменателя равна 4. Так как старшая степень знаменателя (4) больше старшей степени числителя (3,5), то при \( x \to \infty \) знаменатель растет быстрее числителя. Следовательно, предел равен 0. Ответ: 0. Пример 7. Вычислить предел: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{3x + 2} \] Решение: Оставим только старшие слагаемые в числителе и знаменателе: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{4x^2}}{3x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2|x|}{3x} \] Рассмотрим два случая: 1. Если \( x \to +\infty \), то \( |x| = x \): \[ \frac{2}{3} \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} = \frac{2}{3} \] 2. Если \( x \to -\infty \), то \( |x| = -x \): \[ \frac{2}{3} \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -\frac{2}{3} \] Ответ: \( \frac{2}{3} \) при \( x \to +\infty \); \( -\frac{2}{3} \) при \( x \to -\infty \).