Решение: Неопределенность ∞-∞

Ниже представлен краткий конспект основных методов раскрытия неопределенности вида \([\infty - \infty]\) на основе изученных примеров. Этот текст удобно переписать в тетрадь. Тема: Преодоление неопределенности \([\infty - \infty]\) Основная идея: Чтобы раскрыть неопределенность вида \([\infty - \infty]\), необходимо преобразовать выражение так, чтобы прийти к неопределенности \(\left[\frac{0}{0}\right]\) или \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). 1. Метод приведения к общему знаменателю Применяется, когда выражение представляет собой разность дробей. Пример: \[ \lim_{x \to 3} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{6}{x^2-9} \right) = [\infty - \infty] \] Приведем к общему знаменателю \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\): \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x+3) - 6}{x^2-9} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x+3} = \frac{1}{6} \] 2. Метод вычитания дробей (при \(x \to \infty\)) Если после приведения к общему знаменателю получается неопределенность \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\), делим числитель и знаменатель на старшую степень \(x\). Пример: \[ \lim_{x \to \infty} \left( x - \frac{3x^2}{3x+1} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x(3x+1) - 3x^2}{3x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{3x+1} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Разделим на \(x\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{3} \] 3. Метод умножения на сопряженное выражение Применяется для выражений с иррациональностью (корнями). Пример: \( \lim_{x \to +\infty} x \left( \sqrt{x^2+1} - x \right) \) Умножим и разделим на сопряженное \( (\sqrt{x^2+1} + x) \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x (\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x (x^2+1 - x^2)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1} + x} \] Выделяя главную часть в знаменателе (\(\sqrt{x^2+1} \approx x\)): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + x} = \frac{1}{2} \] Важно: При \(x \to -\infty\) всегда проверяйте знаки функций, так как результат может стремиться к бесконечности без неопределенности.