Теоремы о предельном переходе в неравенствах: решение и конспект

Ниже представлен краткий конспект по теме «Теоремы о предельном переходе», который удобно переписать в тетрадь. Тема: Теоремы о предельном переходе в неравенствах 1. Теорема о предельном переходе в неравенстве Если в окрестности точки \(x_0\) выполняется неравенство \(f(x) \le g(x)\) и существуют конечные пределы этих функций, то: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) \le \lim_{x \to x_0} g(x) \] (То есть знак неравенства при переходе к пределу сохраняется). 2. Теорема о двух милиционерах (о зажатой функции) Это одна из важнейших теорем математического анализа, позволяющая находить пределы сложных функций через сравнение. Формулировка: Если в окрестности точки \(x_0\) функция \(f(x)\) заключена между двумя функциями \(h(x)\) и \(g(x)\): \[ h(x) \le f(x) \le g(x) \] и пределы «внешних» функций равны одному и тому же числу \(A\): \[ \lim_{x \to x_0} h(x) = A \quad \text{и} \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = A \] то предел «зажатой» функции \(f(x)\) также существует и равен \(A\): \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \] Доказательство (кратко): По определению предела, для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся такие окрестности, в которых: \[ A - \varepsilon < h(x) < A + \varepsilon \] \[ A - \varepsilon < g(x) < A + \varepsilon \] Так как \(h(x) \le f(x) \le g(x)\), то в общей окрестности: \[ A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon \implies |f(x) - A| < \varepsilon \] Что и означает, что \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\). Иллюстрация к теоремам: На графике видно, как функция \(f(x)\) оказывается «зажата» в узком коридоре между \(g(x)\) и \(h(x)\) при приближении к точке \(x_0\), что вынуждает её иметь тот же предел. (Примечание для школьника: при переписывании в тетрадь схематично изобрази три линии, сходящиеся в одну точку \(A\) при \(x \to x_0\)).