Последовательность и Предел Последовательности: Краткий Конспект

Ниже представлен краткий конспект по теме «Последовательность. Предел последовательности», который удобно переписать в тетрадь. Определение последовательности Числовая последовательность — это функция \( a_n = f(n) \), заданная на множестве натуральных чисел \( n \in \mathbb{N} \). Пример: \( \{a_n\} = \frac{1}{n} \Rightarrow \{1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ...\} \). Ограниченность и монотонность 1. Ограниченная последовательность: существует такое \( M > 0 \), что для всех \( n \) выполняется \( |a_n| < M \). 2. Монотонные последовательности: — возрастающая: \( a_n < a_{n+1} \); — убывающая: \( a_n > a_{n+1} \); — неубывающая: \( a_n \le a_{n+1} \); — невозрастающая: \( a_n \ge a_{n+1} \). Предел последовательности Число \( A \) называется пределом последовательности \( \{a_n\} \), если для любого \( \varepsilon > 0 \) найдется такой номер \( N \), что для всех \( n > N \) выполняется неравенство \( |a_n - A| < \varepsilon \). Запись: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \] Бесконечный предел Если для любого \( M > 0 \) найдется номер \( N \), такой что при \( n > N \) выполняется \( |a_n| > M \), то предел равен бесконечности: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \] Ключевые отличия от предела функции 1. В последовательностях переменная \( n \) стремится только к \( +\infty \). 2. Последовательность дискретна (состоит из отдельных членов), в то время как аргумент функции меняется непрерывно. 3. В последовательностях часто встречаются специфические элементы: факториалы (\( n! \)), «мигалки» (\( (-1)^n \)) и прогрессии.