Решение примеров на пределы. Краткая запись

Ниже представлены основные примеры вычисления пределов из текста в кратком виде, удобном для записи в тетрадь. Пример 1. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}) \). Решение: В скобках — сумма геометрической прогрессии, где \( b_1 = \frac{1}{2} \), \( q = \frac{1}{2} \). Формула суммы: \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \). \[ S_n = \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = 1 - (\frac{1}{2})^n \] Вычисляем предел: \[ \lim_{n \to \infty} (1 - (\frac{1}{2})^n) = 1 - 0 = 1 \] Ответ: 1. Пример 2. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^2} \). Решение: В числителе — сумма арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{1+n}{2} \cdot n = \frac{n^2+n}{2} \). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^2}{2n^2} + \frac{n}{2n^2}) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \] Ответ: \( \frac{1}{2} \). Пример 3. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)^3 - (n+1)^3}{n^2 + 2} \). Решение: Раскроем кубы в числителе: \[ (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) - (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = -6n^2 - 2 \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-6n^2 - 2}{n^2 + 2} = -6 \] Ответ: -6. Пример 4. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n}{3^n} \). Решение: Разделим почленно: \[ \lim_{n \to \infty} (\frac{2^n}{3^n} + \frac{3^n}{3^n}) = \lim_{n \to \infty} ((\frac{2}{3})^n + 1) = 0 + 1 = 1 \] Ответ: 1. Пример 5. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+3)!} \). Решение: Вынесем \( (n+1)! \) в числителе и разложим знаменатель: \[ \frac{(n+1)!(n+2 + 1)}{(n+1)!(n+2)(n+3)} = \frac{n+3}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = 0 \] Ответ: 0. Пример 6. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)! - n!} \). Решение: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n!(n+1 - 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n! \cdot n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] Ответ: 0. Пример 7. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} \). Решение: Так как \( |(-1)^n| = 1 \), а знаменатель \( n \to \infty \), то по свойству бесконечно малой последовательности: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0 \] Ответ: 0.