Решение примеров на пределы для школьников

Ниже представлен краткий и понятный конспект примеров вычисления пределов, который удобно переписать в школьную тетрадь. Пример 1. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}) \). Решение: В скобках — сумма геометрической прогрессии, где \( b_1 = \frac{1}{2} \), \( q = \frac{1}{2} \). Сумма \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = 1 - (\frac{1}{2})^n \). \[ \lim_{n \to \infty} (1 - (\frac{1}{2})^n) = 1 - 0 = 1 \] Ответ: 1. Пример 2. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^2} \). Решение: В числителе — сумма арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^2}{2n^2} + \frac{n}{2n^2}) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \] Ответ: \( \frac{1}{2} \). Пример 3. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)^3 - (n+1)^3}{n^2 + 2} \). Решение: Раскроем скобки в числителе: \( (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) - (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = -6n^2 - 2 \). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-6n^2 - 2}{n^2 + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{-6 - \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}} = -6 \] Ответ: -6. Пример 4. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n}{3^n} \). Решение: Разделим почленно на \( 3^n \): \[ \lim_{n \to \infty} (\frac{2^n}{3^n} + \frac{3^n}{3^n}) = \lim_{n \to \infty} ((\frac{2}{3})^n + 1) = 0 + 1 = 1 \] Ответ: 1. Пример 5. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+3)!} \). Решение: Разложим факториалы: \( (n+2)! = (n+1)!(n+2) \) и \( (n+3)! = (n+1)!(n+2)(n+3) \). Вынесем \( (n+1)! \) и сократим: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!(n+2+1)}{(n+1)!(n+2)(n+3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{(n+2)(n+3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = 0 \] Ответ: 0. Пример 6. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)! - n!} \). Решение: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n!(n+1) - n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n!(n+1-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] Ответ: 0. Пример 7. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} \). Решение: Последовательность \( (-1)^n \) ограничена, а \( \frac{1}{n} \) стремится к 0. Произведение ограниченной на бесконечно малую есть бесконечно малая. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0 \] Ответ: 0.