Решение: Предел последовательности (1/4 + 1/4^2 + ... + 1/4^n)

Ниже представлено краткое решение примера, которое удобно переписать в тетрадь. Пример 1. Найти предел последовательности \( \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{4^n}) \). Решение: Заметим, что в скобках записана сумма \( n \) первых членов геометрической прогрессии, где первый член \( b_1 = \frac{1}{4} \), а знаменатель \( q = \frac{1}{4} \). Используем формулу суммы \( n \) членов: \[ S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{\frac{1}{4}(1-(\frac{1}{4})^n)}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}(1-(\frac{1}{4})^n)}{\frac{3}{4}} = \frac{1-(\frac{1}{4})^n}{3} \] Вычислим предел при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1-(\frac{1}{4})^n}{3} = \frac{1-0}{3} = \frac{1}{3} \] Альтернативный способ: Так как \( |q| < 1 \), можно воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3} \).