Краткое решение задач на предел для тетради

Ниже представлены решения примеров 2 и 3 в кратком виде для записи в тетрадь. Пример 2. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{1+3+\dots+(2n-1)}{3n^2} \). Решение: В числителе — сумма \( n \) первых членов арифметической прогрессии, где \( a_1 = 1 \), \( a_n = 2n-1 \). Сумма \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \): \[ S_n = \frac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2 \] Вычисляем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n^2} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3} \). Пример 3. Найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)^3 + (1-3n)^3}{8n^3 - 2n} \). Решение: Раскроем кубы в числителе, используя формулу \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \): 1) \( (2n-1)^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1 \) 2) \( (1-3n)^3 = 1 - 9n + 27n^2 - 27n^3 \) Сложим их: \[ (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + (1 - 9n + 27n^2 - 27n^3) = -19n^3 + 15n^2 - 3n \] Для вычисления предела при \( n \to \infty \) оставим только старшие степени в числителе и знаменателе: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-19n^3 + 15n^2 - 3n}{8n^3 - 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-19n^3}{8n^3} = -\frac{19}{8} \] Ответ: \( -\frac{19}{8} \).