Второй замечательный предел: формула и решение задач

Ниже представлен краткий конспект по теме «Второй замечательный предел», адаптированный для записи в тетрадь. Второй замечательный предел Рассмотрим последовательность \( a_n = (1 + \frac{1}{n})^n \). Она является возрастающей и ограниченной: \( 2 \le a_n < 3 \). Предел этой последовательности обозначается числом \( e \). \( e \) — иррациональное число, \( e \approx 2,71828... \) Формула второго замечательного предела: \[ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \] Этот предел используется для раскрытия неопределенности вида \( 1^{\infty} \). Пример 1. Найти \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{k}{n})^n \). Решение: Чтобы воспользоваться формулой второго замечательного предела, необходимо, чтобы в показателе степени стояла величина, обратная дроби в скобках. Сделаем преобразование: \[ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{k}{n})^n = \lim_{n \to \infty} \left( (1 + \frac{k}{n})^{\frac{n}{k}} \right)^k \] Так как \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{k}{n})^{\frac{n}{k}} = e \), получаем: \[ \lim_{n \to \infty} \left( (1 + \frac{k}{n})^{\frac{n}{k}} \right)^k = e^k \] Ответ: \( e^k \).