Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Ниже представлен краткий конспект по теме Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций, составленный на основе предоставленного материала. Этот текст удобно переписать в тетрадь. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций 1. Главная часть бесконечно малой функции Определение: Слагаемое, эквивалентное всей сумме бесконечно малых функций при \( x \to x_0 \), называется главной частью этой суммы. При \( x \to 0 \) главной частью суммы бесконечно малых является слагаемое с наименьшим показателем степени. Пример: Дана функция \( \alpha(x) = 3x^2 - 5x^4 + x^5 \). При \( x \to 0 \) главной частью является \( 3x^2 \), так как это слагаемое низшей степени. Порядок \( \alpha(x) \) относительно \( x \) равен 2, так как: \[ \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x^4 + x^5}{x^2} = 3 \neq 0 \] 2. Главная часть бесконечно большой функции При \( x \to \infty \) главной частью суммы бесконечно больших функций является слагаемое с наибольшим показателем степени (слагаемое высшего порядка). Пример: Дана функция \( h(x) = x^4 + \sqrt{x} \). 1) При \( x \to 0 \) (бесконечно малые): Главная часть — \( \sqrt{x} \) (наименьшая степень \( x^{1/2} \)). 2) При \( x \to \infty \) (бесконечно большие): Главная часть — \( x^4 \) (наибольшая степень). Правило отбрасывания: - Для бесконечно малых (\( x \to 0 \)) отбрасывают слагаемые высших порядков (большие степени). - Для бесконечно больших (\( x \to \infty \)) отбрасывают слагаемые низших порядков (меньшие степени).