Основные эквивалентности бесконечно малых функций

Ниже представлен краткий конспект основных эквивалентностей бесконечно малых функций. Этот список формул является базовым для решения задач на пределы и его важно иметь в тетради. Основные эквивалентности бесконечно малых функций Функции \( f(x) \) и \( g(x) \) называются эквивалентными (асимптотически равными) при \( x \to x_0 \), если их предел отношения равен единице. Обозначается как \( f(x) \sim g(x) \). Таблица эквивалентностей при \( x \to 0 \): 1. Тригонометрические функции: \[ \sin x \sim x \] \[ \text{tg } x \sim x \] \[ \arcsin x \sim x \] \[ \text{arctg } x \sim x \] 2. Логарифмические и показательные функции: \[ \ln(1 + x) \sim x \] \[ e^x - 1 \sim x \] \[ a^x - 1 \sim x \ln a \] 3. Степенные функции: \[ (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \] В частности, при \( \alpha = \frac{1}{2} \): \( \sqrt{1+x} - 1 \sim \frac{x}{2} \). Важное замечание: Все указанные выше эквивалентности справедливы только при условии, что аргумент функции стремится к нулю (\( x \to 0 \)). Если вместо \( x \) стоит сложная функция \( u(x) \), то формулы применяются аналогично при \( u(x) \to 0 \). Пример использования: Вместо вычисления сложного предела можно заменить функции на их эквиваленты: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\ln(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} \]