Непрерывность функции: Краткий конспект

Ниже представлен сжатый конспект по теме Понятие непрерывной функции, который содержит только самые важные определения для школьной тетради. Понятие непрерывной функции 1. Определение непрерывности в точке Функция \( f(x) \) называется непрерывной в точке \( x_0 \), если выполняются три условия: 1) Функция определена в точке \( x_0 \) (существует \( f(x_0) \)). 2) Существует предел функции в этой точке. 3) Предел функции равен значению функции в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] Следствие: Для непрерывной функции можно менять местами знак предела и знак функции: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f\left( \lim_{x \to x_0} x \right) \] 2. Непрерывность через приращения Функция непрерывна в точке \( x_0 \), если бесконечно малому приращению аргумента \( \Delta x \) соответствует бесконечно малое приращение функции \( \Delta y \): \[ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 \] где \( \Delta x = x - x_0 \), а \( \Delta y = f(x) - f(x_0) \). 3. Односторонняя непрерывность - Непрерывность слева: \( \lim_{x \to x_0 - 0} f(x) = f(x_0) \) - Непрерывность справа: \( \lim_{x \to x_0 + 0} f(x) = f(x_0) \) Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в ней и слева, и справа. 4. Непрерывность на промежутке - На интервале \( (a, b) \): функция непрерывна в каждой точке этого интервала. - На отрезке \( [a, b] \): функция непрерывна на интервале \( (a, b) \), а также непрерывна справа в точке \( a \) и слева в точке \( b \).