Решение матрицы методом Гаусса при k=3 и n=-1

Для решения задачи подставим заданные значения параметров \(k = 3\) и \(n = -1\) в матрицу. Матрица \(A\) примет вид: \[ A = \begin{pmatrix} 3+1 & -1 & 3 \\ -1-3 & 1 & -1-3 \\ -3 & -(-1) & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 \\ -4 & 1 & -4 \\ -3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Чтобы найти обратную матрицу \(A^{-1}\) методом Гаусса, запишем расширенную матрицу \((A|E)\), где \(E\) — единичная матрица, и с помощью элементарных преобразований строк приведем левую часть к единичному виду. \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 4 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Шаг 1. Прибавим первую строку ко второй: \[ R_2 \to R_2 + R_1 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 4 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Шаг 2. Прибавим третью строку к первой, чтобы получить единицу в позиции (1,1): \[ R_1 \to R_1 + R_3 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Шаг 3. Исключим \(-3\) из первого столбца третьей строки. Прибавим к третьей строке первую, умноженную на 3: \[ R_3 \to R_3 + 3R_1 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 4 \end{array} \right) \] Шаг 4. Поменяем вторую и третью строки местами: \[ R_2 \leftrightarrow R_3 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \] Шаг 5. Умножим третью строку на \(-1\): \[ R_3 \to -1 \cdot R_3 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \] Шаг 6. Исключим единицы в третьем столбце первой и второй строк. Вычтем третью строку из первой и из второй: \[ R_1 \to R_1 - R_3 \] \[ R_2 \to R_2 - R_3 \] \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \] Слева получили единичную матрицу, значит справа находится искомая обратная матрица. Ответ: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]