Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Задание: Найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений. Дана матрица \( A \) при \( k = 3 \) и \( n = -1 \): \[ A = \begin{pmatrix} k & kn-1 & 1-kn \\ -k & 1-kn & kn \\ 1 & n & -n \end{pmatrix} \] Подставим значения \( k = 3 \) и \( n = -1 \): \( kn = 3 \cdot (-1) = -3 \) \( kn - 1 = -3 - 1 = -4 \) \( 1 - kn = 1 - (-3) = 4 \) Матрица \( A \) принимает вид: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 4 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 1. Вычислим определитель матрицы \( A \) (метод треугольников): \[ \det(A) = 3 \cdot 4 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot (-3) \cdot (-1) - (4 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) \cdot (-1) + (-4) \cdot (-3) \cdot 1) \] \[ \det(A) = (12 + 12 + 12) - (16 + 9 + 12) = 36 - 37 = -1 \] Так как \( \det(A) \neq 0 \), обратная матрица существует. 2. Найдем алгебраические дополнения \( A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \): \[ A_{11} = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1 \] \[ A_{12} = -\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-3 + 3) = 0 \] \[ A_{13} = \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \] \[ A_{21} = -\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-4 + 4) = 0 \] \[ A_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \] \[ A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 + 4) = -1 \] \[ A_{31} = \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 12 - 16 = -4 \] \[ A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -(-9 + 12) = -3 \] \[ A_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 12 = 0 \] 3. Составим союзную (присоединенную) матрицу \( A^* \), транспонировав матрицу из дополнений: \[ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] 4. Вычислим обратную матрицу по формуле \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^* \): \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]