Решение задачи: Уравнение плоскости и проекция точки на прямую

Задание: Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку \( M(k+2n; 2n; -n-k) \) перпендикулярно прямой \( \frac{x-3k}{2k} = \frac{y+2k-n}{-2k} = \frac{z-n}{k} \). Найдите проекцию точки \( M \) на эту прямую. Используем значения из предыдущего шага: \( k = 3 \), \( n = -1 \). Решение: 1. Определим координаты точки \( M \) и направляющий вектор прямой \( \vec{s} \): Подставим \( k = 3 \) и \( n = -1 \): Точка \( M(3 + 2(-1); 2(-1); -(-1) - 3) = M(1; -2; -2) \). Направляющий вектор прямой \( \vec{s} = (2k; -2k; k) = (6; -6; 3) \). Для удобства сократим вектор \( \vec{s} \) на 3: \( \vec{n} = (2; -2; 1) \). 2. Составим уравнение плоскости: Так как плоскость перпендикулярна прямой, направляющий вектор прямой \( \vec{n} = (2; -2; 1) \) является нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку \( M(x_0; y_0; z_0) \): \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Подставляем координаты вектора \( \vec{n} \) и точки \( M \): \[ 2(x - 1) - 2(y - (-2)) + 1(z - (-2)) = 0 \] \[ 2x - 2 - 2y - 4 + z + 2 = 0 \] \[ 2x - 2y + z - 4 = 0 \] Общее уравнение плоскости: \( 2x - 2y + z - 4 = 0 \). 3. Найдем проекцию точки \( M \) на прямую: Заметим, что по условию плоскость проходит через точку \( M \) и перпендикулярна прямой. Проекция точки \( M \) на прямую — это точка пересечения данной прямой с этой плоскостью. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде. Подставим \( k \) и \( n \) в уравнение прямой: \[ \frac{x-9}{6} = \frac{y+7}{-6} = \frac{z+1}{3} = t \] Отсюда: \[ x = 6t + 9 \] \[ y = -6t - 7 \] \[ z = 3t - 1 \] Подставим эти выражения в уравнение плоскости \( 2x - 2y + z - 4 = 0 \): \[ 2(6t + 9) - 2(-6t - 7) + (3t - 1) - 4 = 0 \] \[ 12t + 18 + 12t + 14 + 3t - 1 - 4 = 0 \] \[ 27t + 27 = 0 \] \[ 27t = -27 \implies t = -1 \] 4. Вычислим координаты проекции (точки \( P \)), подставив \( t = -1 \) в параметрические уравнения прямой: \[ x_p = 6(-1) + 9 = 3 \] \[ y_p = -6(-1) - 7 = -1 \] \[ z_p = 3(-1) - 1 = -4 \] Ответ: Общее уравнение плоскости: \( 2x - 2y + z - 4 = 0 \). Проекция точки \( M \) на прямую: \( P(3; -1; -4) \).