Задача: Треугольники и внешние углы - Решение

Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача №1 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 74^\circ \). \( \angle BCD \) — внешний угол при вершине \( C \). Найти: может ли \( \angle BCD \) быть равен: 1) \( 75^\circ \); 2) \( 70^\circ \)? Решение: По свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. То есть: \( \angle BCD = \angle A + \angle B \). Отсюда следует, что внешний угол всегда больше любого из углов треугольника, не смежных с ним: \( \angle BCD > \angle A \). 1) Если \( \angle BCD = 75^\circ \), то \( 75^\circ > 74^\circ \). Это возможно (в этом случае \( \angle B = 1^\circ \)). 2) Если \( \angle BCD = 70^\circ \), то \( 70^\circ < 74^\circ \). Это невозможно, так как внешний угол должен быть строго больше \( \angle A \). Ответ: 1) да; 2) нет. Задача №2 Дано: \( \triangle KMN \). \( \angle MKP = 126^\circ \) — внешний угол при вершине \( K \). \( \angle M, \angle N \) — углы, не смежные с ним. \( \angle M = \angle N + 22^\circ \). Найти: \( \angle M, \angle N \). Решение: По свойству внешнего угла: \[ \angle MKP = \angle M + \angle N \] Пусть \( \angle N = x \), тогда \( \angle M = x + 22^\circ \). Составим уравнение: \[ x + (x + 22^\circ) = 126^\circ \] \[ 2x + 22^\circ = 126^\circ \] \[ 2x = 126^\circ - 22^\circ \] \[ 2x = 104^\circ \] \[ x = 52^\circ \] Значит, \( \angle N = 52^\circ \). Тогда \( \angle M = 52^\circ + 22^\circ = 74^\circ \). Ответ: \( 74^\circ, 52^\circ \). Задача №3 Дано: \( \triangle XYZ \). \( \angle 1_{вн} = 107^\circ \) (внешний угол при \( X \)). \( \angle 2_{вн} = 123^\circ \) (внешний угол при \( Y \)). Найти: \( \angle 3_{вн} \) (внешний угол при \( Z \)). Решение: Существует теорема о том, что сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна \( 360^\circ \). \[ \angle 1_{вн} + \angle 2_{вн} + \angle 3_{вн} = 360^\circ \] Подставим известные значения: \[ 107^\circ + 123^\circ + \angle 3_{вн} = 360^\circ \] \[ 230^\circ + \angle 3_{вн} = 360^\circ \] \[ \angle 3_{вн} = 360^\circ - 230^\circ \] \[ \angle 3_{вн} = 130^\circ \] Ответ: \( 130^\circ \).