Решение задачи: Линейная регрессия методом наименьших квадратов

Для построения линейной зависимости регрессии \( y = kx + b \) методом наименьших квадратов по заданным семи точкам, необходимо выполнить следующие расчеты. 1. Составим расчетную таблицу для определения необходимых сумм: \( n = 7 \) Точка 1: \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 1,2 \), \( x_1^2 = 1 \), \( x_1 y_1 = 1,2 \) Точка 2: \( x_2 = 2 \), \( y_2 = 2,9 \), \( x_2^2 = 4 \), \( x_2 y_2 = 5,8 \) Точка 3: \( x_3 = 3 \), \( y_3 = 3,7 \), \( x_3^2 = 9 \), \( x_3 y_3 = 11,1 \) Точка 4: \( x_4 = 4 \), \( y_4 = 4,1 \), \( x_4^2 = 16 \), \( x_4 y_4 = 16,4 \) Точка 5: \( x_5 = 5 \), \( y_5 = 5,4 \), \( x_5^2 = 25 \), \( x_5 y_5 = 27,0 \) Точка 6: \( x_6 = 6 \), \( y_6 = 5,6 \), \( x_6^2 = 36 \), \( x_6 y_6 = 33,6 \) Точка 7: \( x_7 = 7 \), \( y_7 = 7,9 \), \( x_7^2 = 49 \), \( x_7 y_7 = 55,3 \) 2. Вычислим суммы: \[ \sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 \] \[ \sum y_i = 1,2 + 2,9 + 3,7 + 4,1 + 5,4 + 5,6 + 7,9 = 30,8 \] \[ \sum x_i^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140 \] \[ \sum x_i y_i = 1,2 + 5,8 + 11,1 + 16,4 + 27,0 + 33,6 + 55,3 = 150,4 \] 3. Найдем средние значения: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{28}{7} = 4 \] \[ \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{30,8}{7} = 4,4 \] 4. Вычислим коэффициент наклона \( k \): \[ k = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \] \[ k = \frac{7 \cdot 150,4 - 28 \cdot 30,8}{7 \cdot 140 - 28^2} = \frac{1052,8 - 862,4}{980 - 784} = \frac{190,4}{196} \approx 0,9714 \] 5. Вычислим коэффициент \( b \): \[ b = \bar{y} - k \bar{x} \] \[ b = 4,4 - 0,9714 \cdot 4 = 4,4 - 3,8856 = 0,5144 \] 6. Запишем итоговое уравнение линейной регрессии: \[ y = 0,97x + 0,51 \] Ответ: Уравнение линейной регрессии имеет вид \( y = 0,97x + 0,51 \). Для построения графика в тетради следует отметить исходные семь точек и провести через них прямую согласно полученному уравнению.